永年使用中のPX-5600です

　本体のエラーランプ状態については、ほかの方がご指摘されているように、マニュアルに記載があるようですので、まずはご確認された方がいいでしょう。同時点滅と交互点滅で内容が異なるようですから、ご注意ください。
　また、たいていの場合はプリンタードライバーのプリンタウィンドウ！3でも具体的なエラー状態が確認できると思います。ハード的なエラー状態が疑われますが、修理対応期限が2017年3月までのようですから、修理するか買い替えるか、思案のしどころですね。。。

質問者殿は恐らく EPSON のサイトの「なんでも相談室」からこちらへ来られたと想像しますが、ここは OKWAVE といって、困りごとを持った人が質問を投げかけて一般の人がアドバイスをする Q&A サイトです。
従ってここでの回答やアドバイスは EPSON をはじめとするメーカーなどの公式見解でないことをご理解ください。

で、ご質問の件ですが・・・
プリンタの操作ガイド ６５ページをご覧ください
お持ちでない場合はこちらからダウンロードできます
http://dl.epson.jp/support/manual/data/ink/px5600/4112685_00.PDF
そこに書かれた状態と対処に従ってもダメな場合は修理になります

修理はこちらから依頼できます
http://www.epson.jp/support/portal/hoshu/px-5600.htm

>その後、電源ランプは消えて、排紙ランプとインクランプが、点滅したままになります。

取説に記載されていますので、
取説をお読みください。

メーカーサポートは何と言ったのですか？