DVDの取り出しトラブル解決方法とは？

光学ドライブが壊れているのでしょう。

とりあえず、DVD正面パネルに針の穴ほどの大きさの穴がありますから、そこへクリップをまっすぐにしたものをギュッと差し込めば手動で取り出せます。

DVD ドライブのエジェクトボタンを押して取り出しをしていますか？
ボタンを押して、トレイが出そうになって、そのまま引っ込む場合はボタン（スイッチ）がチャタリングを起こしています。最近頻発するということは、ちゃんと出てくることもあるということですか？ボタンをすばやく二度押しすると、トレイが出そうになって、そのまま引っ込む、チャタリング現象を再現することができます。
経年劣化だと思います。ボタンを何度も強く押しているうちに改善するかもしれません。

エクスプローラの「右クリックメニュー」で取り出しをして、このような症状になるのはエクスプローラ（Windows のシェル）に問題があると思います。再セットアップしてみてください。
Windows 10 は、現在インストールされているバージョンと同じバージョンのインストーラーからアップグレードインストールすることができます。（Win7 からWin10 にアップグレードした時と同様に）
https://www.microsoft.com/ja-jp/software-download/windows10
から、ツールをダウンロードし、ダウンロードしたツールを実行して「個人用ファイルとアプリを引き継ぐ」設定でアップグレードしてください。
ツールからではなく「今すぐアップデート」から実行すると、Windows 10 のバージョンが同じ場合は、アップデートできません。