小４の娘との接し方が分かりません

小４の娘がいます。
上に兄がいますが、息子の方はおとなしい性格で反抗期もなかったのですが、娘は逆に小さな時から頭の回転が早く、負けず嫌いで親とも兄とも対等というか常にマウントを取りたがり、最近では上から物を言ってくるようになってしまいました。
しつけの問題と思い、厳しく叱ってはいるのですが、態度が横柄で屁理屈を並べては口答えし、叱られても泣くわけでも困った顔をするわけでもなく、「約束を守れないならここにはいられない」と言ったところで「別にいいけど」と平気で荷物をまとめたりするので、その態度についこちらがヒートアップしてしまいます。
嘘も平気でつくし、子供らしくないズルさもあり、このまま社会に出していいものかと毎日思い悩んでいます。
ここ数ヶ月は本当に言うことを聞かなくて、親の私たちを完全にナメているので、娘を見るたびイライラするようになり、それでも親としての責任は果たさなくてはならないし、自分の子育ての不甲斐なさも感じながら、娘を嫌いになってしまいそうな自分も嫌になっていました。
そして先日、平気で私についた嘘がバレた時にそのことを責め立ててしまったところ、謝りもせずにしれっとふてくされて寝てしまったのですが、娘の枕元から「死にたい」と書かれたメモを見つけてしまいました。
親なのに娘の気持ちが全く分からないです。
叱っても口答えをして落ち込んだり思い詰める様子もなく、自分のしたことを反省もせずに周りにひどい態度を取って、謝ることも嫌、叱るとふてくされて、最後死にたいって…
もうどうしたらいいのか…私が死にたいです。
「もっと向き合ってあげて」「娘さんは傷ついている」というご意見があるかと思いますが、寄り添うということがどういうことなのか、なぜかしっくりこないんです。
私が親失格なのだと思いますが、娘の死は止めなければならないです。
でもどうやって？と娘にどう接したらいいのかが見えなくなってしまいました。
親子であっても相性があると思うので、割りきっていくにしても、向き合い方が分かりません。
どんな言葉をかけたらいいのか、アドバイスがあれば具体的に教えていただきたいです。