異なるWiFiルーター下でプリンターを使用する方法

ユーティリティソフトウェアのアンインストールツールでドライバーのアンインストールします
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?&c=jp&lang=ja&prod=hll2365dw&os=10013&type3=1039&dlid=dlf013746_000
　　　↓
4Aをお読みください
https://download.brother.com/welcome/doc100265/cv_hll2360dn_jpn_qsg_d01jbc001_a.pdf
次に4B を参考に CD-ROMは使いません
windows の場合は‥　からドライバーとソフトウエアーをダウンロードします　ここに書いて居る通りに画面の説明と指示に従えば出来ると思います

まず、以下ページをご覧になられましたでしょうか？

【インクジェット/レーザー プリンター】ルーターモデムを変更したら無線LANに接続できません
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10316/

ネットワーク情報が変更されたため、プリンタードライバーを入れ直すことにより解決するかもしれませんね。
付属CDを使用するのではなく、ブラザーホームページよりプリンタードライバーを入れ直してみてはいかがでしょうか？

・プリンターの操作でネットワーク初期化をしてプリンターの電源を切る
　※この時USB接続されている場合は抜いておく
・一旦、プリンタードライバーをアンインストールしてPCを再起動
・以下ページより、フルパッケージダウンロード 【推奨】を選択しダウンロード
・ダウンロードしたフルパッケージドライバーを再インストール
これで症状が改善されるかご確認ください。

改善しなければ以下項目について対処後、再度試してみてはいかがでしょうか？
　※標準ドライバーがインストールされていたらそれも削除
　※同じようなプリンタードライバーを登録していればそれも削除
　※ブラザー公式のアンインストールツールを使用してください
　※セキュリティソフトを一時停止してください
　※高速スタートアップにチェックが入っていたらチェックを外して再起動
　※プリンター本体を購入時状態に初期化する

【インクジェット/レーザー プリンター】(Windows)今まで印刷できていたのに、突然印刷できなくなった
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10255/

Webページからドライバーをインストールする方法
↓↓↓↓↓
https://www.youtube.com/watch?v=V7pUbPDKogU&feature=youtu.be

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
↓↓↓↓↓
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

ソフトウェアダウンロード
↓↓↓↓↓
https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx

プリンタードライバーとネットワークアドレスが紐付けられていますので　インストールのやり直し（削除・新規）が必要になります

無線LAN機器とプリンターの登録も必須

また元の場所に戻す　以前の設定を残しておきたい場合は　新しいネットワークプリンターの名前を識別できるように変更して下さい

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=hll2365dw
こちらですね。

もし現在プリンタドライバをインストールしているな一旦アンインストールしてプリンタの電源を切りPCを再起動しましょう。

フルパッケージダウンロード 【推奨】
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=hll2365dw&os=10013&dlid=dlf101174_000&flang=1001&type3=11
をダウンロードしてドライバを再インストールしてみましょう。
その際にプリンタとルーターの無線LAN接続もやり直されそれに合わせてドライバの設定し直すことになりますので。