停電後親機が使用できない

全くランプも点灯しなかったり挙動すら起きない状態であれば、電源基盤故障のため、修理を要する案件かと存じます。
コンセントを別の場所（確実に通電している場所）に差し込んでみてもだめなんですよね…。5分程電源プラグを抜いた状態でもだめですか？

brotherの字が点滅している最中に再度パネル上の電源（On/Off）ボタンを長押しします。ホームボタンが点灯したら電源ボタンから手を離してください。後は電源ボタンを押し続けながらコンセント入れるなど…
要は電源ボタンの押す時間、タイミング、押す回数等を工夫してやってみてはいかがでしょうか？
これで改善すれば良いのですが。以下、御参照ください。

電源が入りません。
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9690/

どうしても無理なようであれば、電源コンセントを抜き１日程放置してみてはいかがでしょうか？

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj1605dn
こちらですね。

取りあえずプリンタの電源ボタンを長めに押して電源が切れないか？試してみましょう。切れないようならコンセントを抜いて数分してから電源を入れ直してみましょう。それでもプリンタ本体の操作パネルにある液晶に「brother」の文字が点滅して表示されているなら故障の可能性も出てきますね。その場合は修理に出すことになるかと。

A3カラー/ビジネスインクジェット複合機の修理サービス
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/mfc_color_inkjet/index.aspx

ⅯFⅭーＪ１６０５ⅮNからファクス送信ではなく電話として発信出来るでしょうか？
またファクス受信ではなく着信は出来るでしょうか？

ⅯFⅭーＪ１６０５ⅮNへ携帯電話などから電話をかけてみてください。
どのような反応になるでしょうか？
話中音？故障を知らせるアナウンス？呼びだしっぱなし？等々