DCP-J1200NをPCと接続する方法

この中にChromeBOOKのドライバーがありますか
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj1200n

プリンタを設定する
https://support.google.com/chromebook/answer/7225252?hl=ja

WindowsおよびMac向けのBrother iPrint&Scanの概要
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/dcp1200na_jpn/doc/html/GUID-9CCEC177-3B7D-44A1-A2BF-81C8F8C3BB00_135.html?broug=in

パソコンからセットアップウィザードを使用して本製品に無線ネットワークを設定する
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/dcp1200na_jpn/doc/html/GUID-B446FCF2-DB15-4399-A938-B5FD550FD18E_86.html?broug=in

一応対応製品には記載されていますね。
でしたら、以下ページの要領で対処してみてはいかがでしょうか？
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13487/

おそらく無線LANルーターの設定如何の問題かと存じます。

Wi-Fiの再起動においては
下記ページの要領で再起動をすることにより改善する可能性があります。
一度されてみてはいかがでしょうか？
https://www.iodata.jp/support/qanda/answer/s20269.htm

Wi-Fiの設定を見直すことができるのであればやってみてください。
・工場出荷状態に初期化
・WPA3やWPAになっていればWPA/WPA2-PSK（AES+TKIP）にする
・5GHzであれば2.4GHzにする
・IPv6になっていればIPv4にする（IPv6非対応機種の場合）
・プライバシーセパレーターがONになっていればOFFにする
・バンドステアリングをOFFにする（あれば）
・ビームフォーミングをOFFにする（あれば）
・ルーター機能付モデムとは別に無線LANルーターを取り付けられているのでしたらブリッジモードなど適切なモードになっているか確認する
※二重ルーターになっているかどうかは以下ページの要領で確認できます。
https://internet.watch.impress.co.jp/docs/column/homewifi/1141132.html

Google社より、Google クラウドプリントは2020年12月31日をもってサポートを終了し、それ以降使用できなくなることが告知されています。
Chrome OSからGoogle クラウドプリントを利用されていた場合、サポート終了後はネイティブ印刷／スキャンを使うことが推奨されています。現在、ブラザー製品でネイティブ印刷／スキャンを利用できるよう準備を進めています。
各製品のネイティブ印刷／スキャンの対応状況は「製品対応表」をご覧ください。

製品対応表に記載されていないモデルは残念ですが、対応していません。

Google ChromeOS 対応状況
↓↓↓↓↓
https://support.brother.co.jp/j/b/oscontents.aspx?ossid=2