MFC-J4510N 電源が入らない

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj4510n
こちらですね。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2019/10/01）

となっているので修理が必要な場合は買い替えとなります。

他の方が回答されていますがコンセントを抜いて半日程度してからコンセントをしっかりと挿し直して電源を入れ直してみるぐらいでしょうか。それでもダメならプリンタを買い替えましょう。

全くランプも点灯しなかったり挙動すら起きない状態であれば、電源基盤故障のため、修理を要する案件かと存じます。
コンセントを別の場所（確実に通電している場所）に差し込んでみてもだめなんですよね…。5分程電源プラグを抜いた状態でもだめですか？
電源をOFFにします、のメッセージは出てきますか？もし出るようであれば復旧の兆しはあります。
電源をOFFにします、のメッセージが出ている最中に再度パネル上の電源（On/Off）ボタンを長押しします。ホームボタンが点灯したら電源ボタンから手を離してください。後は電源ボタンを押し続けながらコンセント入れるなど…
要は電源ボタンの押す時間、タイミング、押す回数等を工夫してやってみてはいかがでしょうか？
これで改善すれば良いのですが。以下、御参照ください。

電源が入りません。
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9690/

どうしても無理なようであれば、電源コンセントを抜き１日程放置してみてはいかがでしょうか？