DCP-J968NのWi-Fi接続について

アンインストールツールでドライバーのアンインストールします
https://support.brother.co.jp/j/b/midlink_os.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj968n&type3=1039&orgc=jp&orglang=ja&orgprod=dcpj968n&targetpage=18

インクジェット/レーザー プリンター】製品を無線LANで接続する方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/12988/~/%E3%80%90%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%83%E3%83%88%2F%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC-%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%80%91%E8%A3%BD%E5%93%81%E3%82%92%E7%84%A1%E7%B7%9Alan%E3%81%A7%E6%8E%A5%E7%B6%9A%E3%81%99%E3%82%8B%E6%96%B9%E6%B3%95

ルーター経由でパソコンと接続する
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/pc/lan/index.html
製品に同梱されているCD-ROMは使いません
使えない場合は、こちらからフルパッケージインストーラーをダウンロードしてください。

フルパッケージインストーラーのダウンロード←ここでDCP-J968Nを選びます
ダウンロードしたフルパッケージインストーラーのファイルをダブルクリックで起動してください。

2. 動画を見ながら、パソコン側の設定を行なってください。動画通りに進んだら、次の手順へ進んでください。

後は画面の説明と指示に従えば出来ると思います

スマホから印刷してみましょう
http://sblog.brother.co.jp/weblog/2015/04/post-8de4.html

そのWiFiがIPアドレスを定期的に変更するのであれば固定させるしか方法がないですね。

Wi-Fiの再起動においては
下記ページの要領で再起動をすることにより改善する可能性があります。
一度されてみてはいかがでしょうか？
https://www.iodata.jp/support/qanda/answer/s20269.htm

Wi-Fiの設定を見直すことができるのであればやってみてください。
・工場出荷状態に初期化
・WPA3やWPAになっていればWPA/WPA2-PSK（AES+TKIP）にする
・5GHzであれば2.4GHzにする
・IPv6になっていればIPv4にする（IPv6非対応機種の場合）
・プライバシーセパレーターがONになっていればOFFにする
・バンドステアリングをOFFにする（あれば）
・ビームフォーミングをOFFにする（あれば）
・ルーター機能付モデムとは別に無線LANルーターを取り付けられているのでしたらブリッジモードなど適切なモードになっているか確認する
※二重ルーターになっているかどうかは以下ページの要領で確認できます。
https://internet.watch.impress.co.jp/docs/column/homewifi/1141132.html

あとはプリンタードライバーを入れ直してみてはいかがでしょうか？
ソフトウェアダウンロード
↓↓↓↓↓
https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj968n
こちらですね。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2022/10/03）

となってますね。

取りあえずプリンタの電源を切りルーターの電源も切って数分してから電源を入れ直して見るとか。
また
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj968n
マニュアルを参考にプリンタ本体の操作パネルから全設定リセットを行って初期設定からやり直してみるのはどうでしょうね。