カラーインク切れ時モノクロ印刷もできない

できないときはできない。仕様なので。

一定期間モノクロ印刷可能な機種なら出来ます。そうでない機種は無理です。

なぜモノクロ印刷なのにカラーインクが必要かをご説明します。
カラー印刷時はもちろんですが、モノクロ印刷時もカラーインクを使用します。モノクロ印刷時はモノクロインクだけを使うわけではありません。

学校で「色の三原色」と言うのを習いませんでしたか？。光ならBGR（ブルー／グリーン／レッド）で、全てを合成すると白になります。インクの場合はCYM（シアン／イエロー／マゼンタ）で、全てを合成すると黒（限りなく近い）になります。

もうお気づきになったでしょうか？。モノクロ専用機は黒一色ですが、カラー印刷ができるインクジェットプリンターやトナーを使ったレーザープリンターは、その３色を合成して様々な色を出しています。黒い色もモノクロインクでは無くカラーインクの合成を行います。でも黒インクもありますよね。実は３色を合成してもインクの不純物のせいで完全な黒にはなりません。それを補うために黒インクが入っています。

上記の理由からモノクロ印刷といえどカラーインクが一色でも無くなれば止まってしまいます。今のインクジェット／カラーレーザープリンターはこの仕様となっているためどうしようもありません。冒頭に話した一定期間のモノクロ印刷も、黒インクは十分残っていたとしても一定期間が過ぎたら印刷できなくなります。よく「モノクロ印刷しかしていないのにカラーインクが減る」とお嘆きの方がいらっしゃいますが、そう言うことです。たくさん印刷をするなら、1セットぐらいは予備に持っておいた方がいいかもしれません。

「モノクロ印刷のみ可能です」と表示されていないなら
他の色を交換しなければ印刷はできません。そのような仕様ですから

「モノクロ印刷のみ可能です」と表示されているなら

約1ヶ月間は、ブラックインクでのモノクロ印刷が可能なようですが
モノクロ印刷を行なうための条件があり
・プリンタードライバーで「用紙種類」は「普通紙」に設定。
・モノクロ印刷を行なうには、「カラー／モノクロ」設定を「モノクロ」に変更。

詳しくは　Q&Aを参考に
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9315

通常、カラーインクを使用しなくても、インクが切れた時点で複合機の機能が使用できなくなってしまいます。
【インクを交換してください】と表示されてしまったのでしたら交換以外の方法がないかと存じます。
インクの交換をしてみてはいかがでしょうか？

一定期間モノクロ印刷可能な機種も存在します。
http://sblog.brother.co.jp/weblog/2019/01/post-1fb4.html
こちらですね。

【モノクロ片面印刷のみ可能】と表示されているときは、一定期間に限りブラックインクでモノクロ印刷を続けることができます。この状態で印刷をする場合、次のことにご注意ください。
・パソコンから印刷をする場合は、印刷設定時、用紙種類を[普通紙]、カラーを[モノクロ]に設定する必要があります。
・コピーの場合は用紙タイプが[普通紙]に、ファクス（MFCモデルのみ）の場合は用紙タイプが[普通紙]または[インクジェット紙]に設定されている必要があります。

残念ですが、裏設定や裏技みないなものはございません。
ご使用状況次第では、
モノクロ専用プリンターを購入し、
カラー印刷の場合はWeb印刷でコンビニ印刷することが経済的で効率が良い方法かもしれませんね。

【インクジェット プリンター】「モノクロ印刷のみ可能です」と表示されました
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9313/