エラー51の表示が出る

①　表示が出ている所以外も開けられる所を全て開けて紙片や異物が内部に挟まっていないか確認
②　電源プラグを抜き差し（可能であれば１晩放置）
③　ドライバーの入れ直し
④　厚紙を電源を切った状態でトレイにセットし、電源を入れる
⑤　給紙ローラーの清掃
⑥　排紙ローラーの清掃
⑦　用紙トレイのベースパッド清掃（あれば）
⑧　エアダスターなどでホコリを飛ばす
⑨　付属や市販の紙詰まり解消シートを使用
⑩　エンコーダーの清掃

内部ローラーの清掃など行った上で、紙詰まりが見当たらないのに紙が送れなかったり紙詰まりエラーが消えない場合は異物噛み込みや内部に紙片がはさまっていたり、内部部品の損傷や不具合であったり、
給紙ローラーや排紙ローラーの内部部品のローター軸劣化による不具合やセンサー故障で本来修理となるべき故障の可能性が高いです。
ほとんどの場合がローラーにホコリ・ゴミ・インク付着物・紙くずなどが付着して摩擦抵抗力が弱っていることが多いです。
指で気持ちサポートする形で押してあげるとうまくいったりするケースもあるようです。
プリンターの電源を入れ直したり、プリンタードライバーを入れ直すことにより改善したケースもあるようです。
また、インクジェットプリンターの場合だけですが、エンコーダーの清掃をすることで紙送りがスムーズになったケースもあるようです。
市販品の紙詰まり解消シートを使用してみるのも一案です。
厚紙を電源を切った状態でトレイにセットし、電源を入れた時に自動給紙させたら改善したというケースもあるようですのでご参考までに。
尚、供給部品の保有期限が過ぎた製品の場合ですと内部部品の経年劣化の故障の可能性が非常に高いです。その場合は残念ですが買い替えとなります。

【インクジェット プリンター】詰まった用紙が取れません/詰まった用紙を取り除いたのにエラー表示が消えません
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10154

給紙ローラーを清掃するには。
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10614/

【インクジェット プリンター】給紙ローラーの清掃方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10620

【インクジェット プリンター】印刷した文字が、二重にぶれたりします（エンコーダーの清掃方法）
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10632

プリンターでエラー番号「50/51/52/57/5A/5B/5C/5D/5E/6C/70/72/73/7A/7D」が表示された場合の原因と対処法
原因
紙詰まりが原因で、機能が作動していません。
プリンター内部で記録紙の破片や異物が詰まっているなどの可能性があります。
もしくは、プリンター内部のエンコーダー（透明な細長いプラスチック部位）が油脂などで汚れています。

対処法
プリンター内部の紙片や異物を取り除いてください。
ローラーなどを開けて、紙が挟まっていないかを確認します。
プリンターヘッドが動く機種の場合は、電源コードを抜き、本体カバーを開け、プリンターヘッドの収納部分などを確認し、懐中電灯などで照らしながら、異物を発見した場合ピンセット等で取り除いてください。
紙が詰まったときは
https://download.brother.com/welcome/doc012037/cv_mfc-650cd_jpn_usr_b.pdf#page=164

本製品が汚れたら
https://download.brother.com/welcome/doc012037/cv_mfc-650cd_jpn_usr_b.pdf#page=162

直らなかったら修理に出すことになるのですが
https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?prod=mfc650cd
本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。となっていますので残念ながら修理できませんので買い替えとなります