年賀状印刷の印刷について

https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj4140n&os=10068
ユーティリティソフトウェアのアンインストールツールでドライバーのアンインストールします
　　　　↓
「フルパッケージダウンロード 【推奨】」を再インストールする
これで正常になりませんか

用紙サイズはハガキで良いですよ
後は、筆ぐるめの再インストールをしてみれば良いかと

【インクジェット プリンター】筆ぐるめの印刷設定方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13444
　ここで表面にインクジェット紙が出てこないということですか？
　普通紙しかない？

DCP-J4140Nは、4色独立大容量の全色染料インクカートリッジですので
そのままで大丈夫ですよ。
https://www.post.japanpost.jp/question/137.html

まず、A4用紙で印刷品質チェックシートの印刷結果はどのような結果であったのでしょうか？
正常でしたらプリンタードライバーの入れ直しで解決すると思います。

どのくらいの期間、どういう環境にさらされ、どのくらいの量をどのくらいのインターバルで印刷されていたのかわかりかねますが、
おそらくインクヘッドが乾燥もしくはインク残渣の堆積物による目詰まりを起こしているのではないでしょうか。
過去に非純正インクをご使用されたことがありましたら、インク残渣堆積物が原因となることが多いです。
もしくはインクを入れ替えたのでしたらその際に気泡が生じ、気泡が消える（落ち着く）まで印字できない状態になっている可能性があります。
インクカートリッジを変えたから、ヘッドクリーニングして良くなったからといってすぐ改善することはほぼありません。
また1日にヘッドクリーニングを何十回してもさほど効果はありません。
時間を置いてから改善しているか状況を見ながら
毎日、ヘッドクリーニングを4回その後電源プラグを抜き1日放置
これを繰り返して良くなれば回復の可能性がありますが…
洗浄カートリッジを使用してみるという意見もありますが、洗浄カートリッジは純正品では存在しません。故障の原因となりますのであまりおすすめできません。
最終手段でのご使用を検討されると良いかもしれません。

プリンターの初期化、ファームウェアの更新で改善したというケースもありますのでご参考までに。
インクカートリッジを振ってみて改善したという都市伝説もあったり…？
改善の見込みがなければ修理となりますが、補修用性能部品の保有期間を既に過ぎている製品であれば、
修理をすることができませんので、残念ですが買い替えとなります。
以下、参照願います。

【インクジェット プリンター】インクが出ない/白紙になる/色合いがおかしい
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10644/

筆ぐるめバージョンはWin11に対応していますか？
アップデートしてありますか？

プリンタードライバーはWin11対応にしてありますか？
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj4140n&os=10068
ここにあるアンインストールツールで一旦ドライバーを削除し,PCを再起動する。
そしてWin11に合わせてフルパッケージを再インストールしてください。

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<参考>
インストールプログラムのダウンロード手順とプリンタードライバのインストール手順
https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/faq/install/pdf/INS0031.pdf
(4)から進めれば分かりやすいでしょう。

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/
機種を選択して操作方法を確認してください