ネットワーク接続できているのにスマホからの年賀状印刷ができない

以下ページの要領で対処してみてはいかがでしょうか？
印刷できないのであれば、お使いのOS・プリンター・ハガキアプリのいずれかの相性問題で対応しきれないとあきらめるしかなさそうです…。

年賀状印刷サポート
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https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/nenga/

スマートフォン/タブレット用アプリの対応状況
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https://support.brother.co.jp/j/s/support/iprint_scan/

【インクジェット プリンター】「Brotherはがき・年賀状プリント」を使いたいのですが、スマートフォン／タブレット端末に「対応する製品が見つかりません」と表示されます
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10143/

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から年賀状を印刷する方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13366/

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から印刷やスキャンをする方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10137/

スマホから印刷してみましょう(ブラザーサポートブログ)
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http://sblog.brother.co.jp/weblog/2015/04/post-8de4.html

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から年賀状を印刷する方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13366?a_id=13062&~=%E3%80%90%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%83%E3%83%88-%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%80%91%E3%81%8A%E5%9B%B0%E3%82%8A%E3%81%94%E3%81%A8%E3%83%8A%E3%83%93%E3%80%80%E5%B9%B4%E8%B3%80%E7%8A%B6%E3%81%AE%E5%8D%B0%E5%88%B7%E3%81%8C%E3%81%A7%E3%81%8D%E3%81%AA%E3%81%84&session=-wEK-8Yp

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj4220n
こちらですね。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2020/04/01）

となってますね。

スマートフォン/タブレット用アプリの対応状況
https://support.brother.co.jp/j/s/support/iprint_scan/index.html
「Brother iPrint&Scan」やAirPrintから印刷やスキャンは出来るのでしょうか？
「Brother いつでも はがき·年賀状プリント」ってアプリからだけ印刷が出来ないならアプリ自体の入れ直すぐらいしか思い浮かばないですね…