年賀はがきの印刷がエラーエラーで印刷で来ません

まず、機器類（プリンター・PC/スマホ・無線LANルーター等）の再起動をして改善するか確認してみてはいかがでしょうか。

また、Windowsの自動アップデートにより、至る所であらゆる影響を受けている模様です。
今回その影響かどうかはわかりかねますが、付属CDを使用するのではなく、ブラザーホームページよりプリンタードライバーを入れ直す事により改善する可能性があります。

・プリンター本体の操作でネットワーク初期化をしてプリンターの電源を切る
　※この時USB接続されている場合は抜いておく
・一旦、プリンタードライバーをアンインストールしてPCを再起動
・以下ページより、フルパッケージダウンロード 【推奨】を選択しダウンロード
・ダウンロードしたフルパッケージドライバーを再インストール
これで症状が改善されるかご確認ください。

改善しなければ以下項目について対処後、再度試してみてはいかがでしょうか？
　※標準ドライバーがインストールされていたらそれも削除
　※同じようなプリンタードライバーを登録していればそれも削除
　※ブラザー公式のアンインストールツールを使用する
　※コントロールパネルでのアンインストールツールを試してみる
　※セキュリティソフトを一時停止する
　※フルパッケージではなく、一つ一つインストールする
　※付属CDを使用してみる
　※高速スタートアップにチェックが入っていたらチェックを外して再起動
　※プリンター本体を購入時状態に初期化する

【インクジェット/レーザー プリンター】(Windows)今まで印刷できていたのに、突然印刷できなくなった
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10255/

Webページからドライバーをインストールする方法
↓↓↓↓↓
https://www.youtube.com/watch?v=V7pUbPDKogU&feature=youtu.be

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
↓↓↓↓↓
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

ソフトウェアダウンロード
↓↓↓↓↓
https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx

手動アップデート方法が知りたい　【筆王】
https://faq.sourcenext.com/app/answers/detail/a_id/5188/~/%E6%89%8B%E5%8B%95%E3%82%A2%E3%83%83%E3%83%97%E3%83%87%E3%83%BC%E3%83%88%E6%96%B9%E6%B3%95%E3%81%8C%E7%9F%A5%E3%82%8A%E3%81%9F%E3%81%84%E3%80%80%E3%80%90%E7%AD%86%E7%8E%8B%E3%80%91
　　アップデートはしてありますか？

プリンターの電源長押しでプリンターをOff
パソコンの再起動
プリンターをON

その後
【インクジェット/レーザー プリンター】（Windows、macOS）印刷待ちデータ（印刷ジョブ）を削除する方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10773/kw/%E5%8D%B0%E5%88%B7%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%96%E3%82%92%E5%89%8A%E9%99%A4

筆王を再開

エラーならプリンター単独でテスト印字され印刷可能なら、
パソコンの設定に問題有りますから、プリンターを使いた
いプリンターに選択して、印刷状況みると印刷待ちをキャ
ンセルして、取り消してからでないと印刷できません。

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj552n
こちらですね。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2019/10/01）

となってますね。

まず確認ですが筆王以外のソフトからは普通に印刷が出来るのでしょうか？

思い付くのはプリンタの電源を切りルーターの電源も切って数分してから電源を入れ直してPCを再起動したり現在インストールしているドライバをアンインストールしてプリンタの電源を切りPCを再起動して

フルパッケージダウンロード 【推奨】
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj552n&os=10013&dlid=dlf013925_000&flang=1001&type3=11
を再インストールしてみるとかでしょうか。