MFC-J4440N　光配線

MFC-J4440Nは有線LAN、無線LANどちらか一方の接続が可能です。
ホームゲートウェイに無線LANの機能が有るなら無線LAN接続ができます。
非常に簡単にかかれた「かんたん設置ガイド」をみると
パソコンをお持ちなら
ソフトウェアダウンロードサイトからソフトウェアをダウンロードし
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj4440n
インストール画面の指示にしたがえば接続できるようです。

無線LANで接続がうまくいかな場合は
ホームゲートウェイ（アクセスポイント）のSSID、ネットワークキーをMFC-J4440N　操作パネルからセットアップウィザードを使用して無線ネットワークを設定です。
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/cv_dcp4140nd_jpn/doc/html/GUID-350C0768-C0FE-45D6-B6EE-8FA444F0CB49_1.html?c=jp&lang=ja&prod=mfcj4440n&broug=in
YouTubeに説明がありました。
ブラザー複合機を無線LANに接続する
https://www.youtube.com/watch?v=bqiPgQ43DRo

USBケーブル・LANケーブルの接続方法
https://www.youtube.com/watch?v=daDYwYOHce4
オンラインユーザーズガイド
本製品の USBケーブル / ネットワークケーブル の差し込み口
にLANケーブルを接続ですね。
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/cv_dcp4140nd_jpn/doc/html/GUID-2DA76F21-D0EA-4F13-9A12-2DF026F960CC_1.html?c=jp&lang=ja&prod=mfcj4440n&broug=in

brother　Q&A　も参考に
【インクジェット/レーザー プリンター】(Windows)ネットワーク接続でインストールできません
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10279/related/1/session/L2F2LzEvdGltZS8xNjc0OTAxNTU4L2dlbi8xNjc0OTAxNTU4L3NpZC9mVUN1cHlVN2Q2NjJOJTdFYnpldHolN0VZRXo4bkdRWGZtcGdseGRTMFF3RDBxMWZFUUVPaXJRa1dLb21DUGliUDBuZG85YkFpOVdkUnBTREVvcV9GcEN4MjZWYjJpVVdyemZhY21UR3JIbFNEdnZPMW8wM21zbl9yeGtRJTIxJTIx

解決しない場合は
購入された販売店など詳しい方に接続してもらうことをおすすめします。

以下ページの要領で対処してみてはいかがでしょうか？

http://sblog.brother.co.jp/weblog/2018/05/post-5857.html

https://download.brother.com/welcome/doc101207/cv_dcp4140n_jpn_qsg.pdf

ホームゲートウェイとは？ ルーターとは違うの？ 購入が必要？
https://dream.jp/ftth/tips_f/hikari32.html#h2-5
ホームゲートウェイの接続方法を参照して下さい

＞ホームゲートウェイとプリンターのつなげ方

ホームゲートウェイ：
https://iot-consulting.co.jp/pikamaro/kiso/homegateway
接続方法：
https://download.brother.com/welcome/doc101207/cv_dcp4140n_jpn_qsg.pdf