A4用紙の半分に縮小印刷される

Webページを印刷すると用紙が縮小されてしまう現象は、印刷時の設定によるものかもしれません。印刷ダイアログで、「ページの拡大/縮小」や「用紙サイズ」などの設定を確認してみてください。また、Webページを印刷する場合、印刷対象の範囲が狭くなってしまうことがあるため、印刷する前にページのレイアウトを調整してみてください↓
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5820dn

インストール時の問題についてですが、接続アシスタントでプリンタが検索できない場合、以下の点を確認してみてください。

プリンターとパソコンが同じWi-Fiネットワークに接続されているか確認する。

プリンターの電源が入っているか確認する。

プリンターの設定画面で無線LANの設定が正しく行われているか確認する。

パソコンのセキュリティーソフトウェアやファイアウォールが、プリンターとの通信を妨げていないか確認する。

USBケーブルを使用して接続しようとした場合、接続アシスタントが正しく動作しない可能性があります。その場合は、以下の手順で手動でドライバをインストールしてみてください。

Brotherの公式サイトから、MFC-J5820DNのドライバをダウンロードする。
↓
ダウンロードしたドライバを実行し、インストールを開始する。
↓
ドライバのインストール中に、プリンターとパソコンをUSBケーブルで接続する。
↓
インストールが完了したら、プリンターとUSBケーブルを切断し、無線LAN接続を設定する。

以上の手順で、MFC-J5820DNを正しくインストールし、印刷問題も解決できるかもしれません。もし解決しない場合は、Brotherのカスタマーサポートにお問い合わせいただくことをおすすめします。

オリジナルドライバーがインストールされていないのが原因のような気がします。
PDF化してから印刷してみるとか。
また、他のブラウザ（Edge・Chrome・Firefox・Safari等）でも同様な症状でしょうか？

Web上のものを印刷する時であれば、「Ctrl＋Shift＋P」でプリンター選択画面を出し、そこで適切なプリンターを選択することで印刷設定が可能となります。
まず、機器類（プリンター・PC/スマホ・無線LANルーター等）の再起動をして改善するか確認してみてはいかがでしょうか。
あとはプリンタードライバーを入れ直してみてはいかがでしょうか？

付属CDを使用するのではなく、ブラザーホームページよりプリンタードライバーを入れてみてはいかがでしょうか？

・プリンターの電源を切っておく
　※この時有線接続されている場合は抜いておく
・ブラザーのドライバーをインストールしている場合は、
　一旦、プリンタードライバーをアンインストールしてPCを再起動
　※同じようなプリンタードライバーを登録していればそれも削除
　※ブラザー公式のアンインストールツールを使用してください
　※セキュリティーソフトを一旦停止しておく
・以下ページより、フルパッケージダウンロード 【推奨】を選択しダウンロード
・ダウンロードしたフルパッケージドライバーをインストール
これで症状が改善されるかご確認ください。

ソフトウェアダウンロード
↓↓↓↓↓
https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
↓↓↓↓↓
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

[動画]無線LAN接続でドライバーをインストールする(Windows®版)
↓↓↓↓↓
https://www.youtube.com/watch?v=oYSQfzOaQyg

Webページからドライバーをインストールする方法
↓↓↓↓↓
https://www.youtube.com/watch?v=V7pUbPDKogU&feature=youtu.be

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/

Wi-Fiの設定を見直すことができるのであればやってみてください。
・工場出荷状態に初期化
・WPA3やWPAになっていればWPA/WPA2-PSK（AES+TKIP）にする
・5GHzであれば2.4GHzにする
・IPv6になっていればIPv4にする（IPv6非対応機種の場合）
・プライバシーセパレーターがONになっていればOFFにする
・バンドステアリングをOFFにする（あれば）
・ビームフォーミングをOFFにする（あれば）
・ルーター機能付モデムとは別に無線LANルーターを取り付けられているのでしたらブリッジモードなど適切なモードになっているか確認する
※二重ルーターになっているかどうかは以下ページの要領で確認できます。
https://internet.watch.impress.co.jp/docs/column/homewifi/1141132.html

https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/faq/snavi24/wlan/pdf/W0019.pdf

↑ の手順に従い、プリンタの液晶画面に「接続完了」と表示されたら、
フルパッケージdownloadしたファイルを実行し、インストールウィザードに従ってください。インストール中にプリンタとPCをUSBケーブルで接続する必要はありません。

https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5820dn&os=10068
ここにあるアンインストールツールで一旦ドライバーを削除し,PCを再起動する。
そしてWin11に合わせてフルパッケージを再インストールしてください。
(USBケーブル,LANケーブル接続の場合,USBケーブル,LANケーブルを外しアンインストール後再起動をかけ再度インストール)
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<参考>
インストールプログラムのダウンロード手順とプリンタードライバのインストール手順
https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/faq/install/pdf/INS0031.pdf
(4)から進めれば分かりやすいでしょう。

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/
機種を選択して操作方法を確認してください
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