インクジェットプリンターの故障について

純正インキ使用ですか。

互換インクの場合はもれる事があります。

URL開いて左側のサポーサートナビ24を開いて.機種入力して故障原因入力すると

オンラインで教えてくれます。

ブラザーオンライン

https://myportal.brother.co.jp/

ネット検索をしてみましたが分解手順や画像などは見つかりませんでした。
仕事にも使われるのであれば分解洗浄に労力を注ぐより新しいプリンタを買うことも検討した方が良いかも。
仮に分解して汚れを落としても思うような結果的が得られないことも十分考えられるので。

>マゼンタインクのみ読みこまれず何度新しくマゼンタを買って入れてもインクが検知されない
インク側の問題ではなく、本体側の問題ということですね。
>尚、保証書がないためサポートが高額な金額を要しきついのでできれば自分で治したいです。
なら頑張ってバラして「直す」しかないでしょう。（病気ではないので「治す」とは言いません）

http://www.daiko2001.co.jp/ink/brother/head-clean.shtml
当該機の構造については判りませんが、ヘッドを外すことができれば洗浄も可能でしょう。普通はまずはヘッドの取り外しだと思いますが。
元々10000円＋α程度の安価に販売されていた商品のようですからメーカー修理は推奨しません。似たような費用がかかることが予想されます。
自分で直すには気合いとやる気も必要ですが、もう一つ能力も必要とします。バラした結果悪化させることもあり得ます。バラしてみるのは全く反対しませんが、ダメなら買い換えを考えても良いと思いますよ。今時インク代の運用コストの方が高いのですから。