小さいサイズの用紙を印刷したいのですが？

パソコンで作成した原稿の用紙サイズ設定（ページ設定）はどうなっていますか？
パソコン印刷の場合、アプリケーション側（例えばWordとか）の設定が優先されますので、プリンター側のトレイ設定は、殆ど意味を成さないです。
まず、原稿サイズがA6になっているか、次に印刷のプロパティ（プリンタードライバーの設定）の用紙サイズが原稿サイズに一致しているか、チェックしてみてください。

MFC5890CN 仕様にはA6もあります。
http://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/mfc5890cn/index.htm#spec-print

ちょっとしたことかもしれません。
説明書を読み直してはいかがでしょう。
http://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?prod=mfc5890cn&c=jp&lang=ja

このタイプのカートリッジは　用紙サイズが小さくなるとカバーをスライドさせる必要がありますが
カートリッジ奥側のカバーを収納されましたでしょうか？
ユーザーズガイド　４２ページ

プリンターの詳細設定（プロパティ）から　用紙サイズの指定を
必要であれば　拡大/縮小のチェックも忘れずに

印刷できない　まったく印刷されない　用紙が送られない　A6に納まらない　いろいろな可能性がありますので　私の予想範囲です

出来るはずですが？。

＞印刷しようとしましたが、できませんでした。
日本語が足りません。何が駄目でどのような・・状態、エラー表示だったのかぐらい書かないとね。