FAX受信内容を携帯で確認する方法

残念ですが、MFC-J6570CDWではそのような使い方はできないと思います。
MFC-J6970CDWであれば、受信したファクスを画像ファイルに変換して、Eメール転送する機能があるのですが・・・

出先でファクスを見るには、「ファクスtoEメール送信」、あるいは「ファクスtoクラウド」に対応しているモデルを使用してください・・・・

月々￥１０００　ぐらいお金出して構わないのならウェブファックスはあります。
私利用してますけど何処に居てもメールで入って来ますので便利かなあ。

２つの方法があります。両方ともFAXの転送機能を使用します。

１．受信したFAXをパソコンまたはNASなどに取り込む
この方法は常時起動しているパソコンやサーバーが必要です。要はパソコンにFAXを取り込んで、外出先からパソコンへアクセスする方法です。
こちらは外部からあなたのパソコンなどにアクセスする必要があるのでネットワークの知識がある程度必要です。
受信したFAX：（受信）→転送→パソコン・NAS
あなた：携帯・スマホ→パソコン・NASへアクセスして閲覧
（ユーザーズガイド応用編：ファクスの「受信したファクスをパソコンに送る（Windows®のみ）」）

２．ネットワークを使用して自動的にメールの添付ファイルとして送信する
この方法は使っているスマホがTIFFという画像を閲覧できることが前提です。携帯ではおそらくみれないと思います。
こちらは、メールアドレスを用意して、FAXが受信したらFAXを画像にして、これを添付ファイル化して送信するという機能です。
こちらはメールの設定を行う必要があります。
受信したFAX：（受信）→（画像化・添付ファイル化・メール送信）→スマホに受信してそれを閲覧
（ユーザーズガイド ネットワーク編：インターネットファクス機能を使う）

それぞれ説明書を見て理解できないようであれば機能として使わないほうが良いでしょう。