SCANエラーについて

「ばかげた質問」でもなんでもありませんよ。
これまでに導入していたプリンターのドライバやユーティリティソフトは、Windowsをアップグレードしただけなので以前のまま残っているのではと思われがちではありますが、Windowsが10になった時点で新しいWindows側から見て何が動作するのかしないのか判断が出来ないものがあると言うことですね。
従って、プリンターに限らず、動作しないデバイスは「新規にインストールする」というのが鉄則です。
すべてなかったものとして、クリーンにしてからインストール作業を進めるとよいと思います。

＞ Brother Utilities や　BRAdmin Professional 3など関係のあると思われるアイコンもある
　↓
ソフトウェアをアンインストールしたら消えます。

＞ 再インストールした場合の設定は推奨を行っていればすぐ設定ができるようになるでしょうか？
　↓
通常は誰にでも無難にこなせるよう、「推奨」設定があるものです。

MFC-J950DNに関するソフトウェアダウンロード情報はこちら。
Windows10の32bitか64bitに適合するものを選択します。
http://support.brother.co.jp/j/b/downloadtop.aspx?prod=mfcj950dn

DCP-J957Nに関するソフトウェアダウンロード情報はこちら。
http://support.brother.co.jp/j/b/downloadtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj957n

「ソフトウェアダウンロード」のページには、あえてドライバに関する記述はないのですが、ドライバとソフトウェアの合体版なのでしょうか。
（Brother機を使っていないので個人的には複合のソフトウェアという感じを持っていますが）
そのあたりは、ダウンロード案内ページの左側にある各種質問などを参照してください。

> 新ソフトウェアダウンロードできるようになっていたので・・・
新ソフトウェアというのはドライバのこと？あるいはユーティリティのことでしょうか？

複合機などの場合、ドライバとユーティリティは一括して提供されることが多いのですが、今回のようにWindows10へのアップグレード後には、それぞれをダウンロードして更新することが大事です。
コントロールパネルの「デバイスとプリンター」から当該プリンターを削除し、ソフトウェアもアンインストールして全てをクリアにしてから、再度ドライバのインストールから始め、ソフトウェアのインストールを行ってみてください。