電話機の増設

私は、ブラザーの関係者ではありません。
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私の回答は「ＯＫ　ＷＡＶＥ」からです。



＞　・・・・・・・別の電話機を接続したいのですが可能でしょうか？本体に二タ又のジャックのようなものをつけるか、MJ-42S（M)を使って本体と電話機をつなぐか、

MJ-42Sは、中身の機能は「二又の機能」です。
https://www.google.co.jp/search?q=MJ-42S&source=lnms&sa=X&ved=0ahUKEwipicvN7rjjAhWLfLwKHTESCVwQ_AUICygA&biw=1013&bih=643&dpr=2

MFC-J738DWNは、ＦＡＸ電話機です。
別の電話機と言うのは、普通の電話機（ＦＡＸ機能が無い、単体電話機）ですね。
MFC-J738DWNの取説、４２ページに「ブランチ接続は禁止」と記載があります。（４２ページのイメージ図に、✖印が付いている）
MJ-42Sの様な「二又の機能」でブランチ接続すると、電話着信もＦＡＸも両方が鳴って混乱するし、また、ＦＡＸ着信なのに電話機で応答すると、ＦＡＸ通信不能となります。
https://download.brother.com/welcome/doc100991/cv_dcp577n_jpn_ausr_b.pdf


また、電話回線にインタネット回線も共用していると、取説の４３ページ以降のいろいろなインターネット回線の種類や、電話回線の種類によって、増設電話機の分岐接続を正しくしないと、着信不能（着信が鳴らないなど）や、インターネット回線の信号停止・速度低下などいろいろと支障が出ます。

さらにさらに、ナンバーディスプレイも契約していると、電話機が複数あると、着信はほぼ鳴らなくなります。
ナンバーディスフレイを契約の場合は、電話機は１台に限定です。ただし、コードレス電話機は親機を１台と数えてコードレス子機は複数台でもＯＫ。ホームテレホン・ビジネスホンなら親機・主装置を１台と数えて子機は複数台でもＯＫ。




＞　・・・・いい方法があればお教えください。

ＦＡＸ通信をするなら、同じ番号で母親専用の電話機は、着信不能となりますから、たぶん無理でしょう。

私の案ですが、母親専用の電話機を取り付けたい場合は、下記の二つの条件でなら、たぶん出来るでしょう。
●　NTT東日本・西日本のひかり電話を契約している。（または、ＮＴＴ東・西のひかり電話の契約が可能）
●　母親専用の別の番号を契約できる。

NTT東日本・西日本の下記の契約をお勧めします。
ＮＴＴマークの「ひかり電話ルータ」と、建物内の配線工事が必要です。
電話番号が、毎月の使用料が１つ１００円です。
・　NTT東日本の追加番号（マイナンバー）
https://flets.com/hikaridenwa/service/option.html
・　NTT西日本の追加番号
https://flets-w.com/opt/hikaridenwa/service/

★　他の固定電話会社には、同様の契約が有るかは、私は分かりません。

まずMFC-J738DWNに外付けの電話機を繋ぐことはできません。
https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/mfcj738dn/spec/index.aspx
（電話機能→外付け電話機接続機能が「ー」となっているので非対応。）

現状で投資を抑えるならば、
モジュラージャックとMFC-J738DWNの間に、https://www.mco.co.jp/products_tel/dsr-222/
を挟み、先に取った方に自動切り替えをさせる、という手です。
ただし、これを導入すると、
仮に「お母様が電話機のほうで取ったが、FAXだった場合」に、
いわゆる手動受信ができないため、FAX受信を損ねることになります。
（上記製品は先着性で他方に転送できないため、電話機側を取ると、そもそもFAXが無い前提になります）
この場合、質問者様の運用でFAXの頻度がどの程度あるか見えないのですが、
FAX自動受信と留守電の活用をされた方が良いかも知れません。

もしくは、
いわゆる「リンガー」と呼ばれる、着信を知らせる機器を、
上流に挟む方が望ましいかも知れません。
http://www.elpa.co.jp/product/if01/elpa357.html
[壁]→[TEA-080]→[MFC-J738DWN]のように間に挟む。

これを導入すると、着信があったら、
・ランプ発光
・ベル鳴動（約90dB）
のいずれか、または両方を設定できるので、
お母様が気づく可能性は高いと思われます。
これであれば、FAXであろうが音声通話であろうが、
取った段階で動作終了をしますので、よろしいかと思われます。

光と大音量ベルで電話の着信をおしらせするフラッシュベルはいかがでしょう。
以下の文字で検索してみてください。
フラッシュベル ： TF-TA21-W

電話回線セレクター 自動切替を利用してはいかがでしょう。
製品例
https://www.yodobashi.com/product/100000001004266758/

元の電話線をこれにつなぎ、これからFAXと母用の電話機につなぎます。
着信呼び出しは両方鳴りますが先に取った方に繋がります。