ブラックインクが反応しない問題の解決方法

純正品なら
↓　ここに問い合わせては如何、チャットでも出来そうです

https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/mfcj6973cdw/accessory/index.aspx

まずは純正品なのか、非純正品なのか、の確認が必須です。
https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/mfcj6973cdw/accessory/index.aspx
上記ページに掲載されているもの以外は、
「ブラザー"対応"」とか「LC11xx"互換"」等と書かれたものであっても
それらはすべて「非純正品」で、「互換」とはいうものの、
「物理的に装着できる」ぐらいの互換でしかなく、
装着後に認識するかどうかから始まって、
出力品質や色調や保存性に至るまで、本来の意味での
正常に使えるかどうか、というのは正直バクチのようなものです。

交換したインク、さらに新しいインクについても
非純正なのであれば、販売店もサポートはしてくれません。
すべては自己責任で、
「直接、非純正品のメーカーとやりとりすることでサポートコストを切り捨てている為の安さ」ですので、そこの手間は受け入れる必要があります。

というわけで、非純正品をご利用であれば、
パッケージなどに記載された問い合わせ窓口に直接コンタクトしてください。
販売店は取り次ぎしてくれません。

純正であれば、まずは本体側の状況を確認する必要があります。
元々付いていた（無くなった）方のインクを再度装着してみて、
状況が変化して「インク切れ」の状態に変化しますか？
なるようであれば、交換したインクが不良品の可能性があります。

まずはそこまで切り分けてみる必要があります。