印刷できません！Wi-Fi自宅2台目設定完了後、初めに設定したPCがオフラインになり印刷できません！

御利用環境不明ですが　憶測の範囲で

パソコンもプリンターもネットワーク接続先は１つしか利用できません

無線LANルーター機器など　複数のデバイスを同時利用できる機器を中継しないと　プリンターに登録されたネットワーク接続先を別PCに変更しないと通信できないです

この「2台目」はプリンターではなくてPCですよね？
質問文からは、プリンター機種もPCのOSも、
それぞれの接続方法も不明ですので、一般論しか書けません。

設定方法を質問するのであれば、プリンターの機種、パソコンそれぞれのOSは必須です。
また、Wi-Fi設定を聞くならば、Wi-Fiルーターのメーカー名＆機種名も
必ず書いてください。
質問者様がどんな機器構成で使っているのかは、
ここのQ&A掲示板では直接見られないので、わかりません。
となると、具体的な説明ができません。

基本的に、複数台のパソコンからプリンターを使う場合は、
イメージとしては、下記のような状態にしなくてはいけません。
[Wi-Fiルーター]
＋-(有線LANまたは無線LAN)-[ブラザーの何らかのプリンター]
＋-(有線LANまたは無線LAN)-[PC1]
＋-(有線LANまたは無線LAN)-[PC2]
つまり、それぞれの機器は「Wi-Fiルーターとつなぐ」
そして、「PC側から、プリンターを見つけに行く」という設定操作のイメージになります。

整理すると、
1.Wi-Fiルーターと、プリンターをネットワーク接続する
※基本的にSSIDやKeyを入れるのは大変なので、
AOSSボタンやWPSボタンでの設定が楽です。
2.いちどプリンターの電源を切る(OSが勝手に検出してインストールしないようにするため)
3.Wi-Fiルーターと、PC1をネットワーク接続したら、PC1の電源を切る
4.Wi-Fiルーターと、PC2をネットワーク接続したら、PC2の電源を切る
※有線LANならケーブルを挿すだけ、無線LANならSSIDを検索し、Keyを入れるのが確実です
5.PC1に、brotherの場合はブラザーホームページから
https://www.brother.co.jp/support/product/index.aspx#search
お使いの機種を選択したら、ダウンロードページに進み、
「フルパッケージダウンロード 【推奨】」
をダウンロードして、ダウンロードしたファイルを実行して、
画面の指示に従って進み、接続方法を選んだあと、電源を入れる指示が出たら、
プリンターの電源を入れて認識させてください。
PC1が終わったら、再びプリンターの電源を切り、
PC2を起動して、同様にインストールをして進めてください。
これにより、PC1およびPC2から使えるようになります。
6.PC1/2から問題なく使えることを確認したら、
フルパッケージに含まれていない差分のソフト
（ControlCenter4アップデータなど）やファームウェア（プリンタ本体の制御プログラム）などを更新して完了です。

OSが何か指定していただければ、より詳しく説明できますが・・・

１）、PCのスタートから、コントロールパネルを開く。
２）、デバイスとプリンターを開く。（ここでショートカットアイコンを作っておけば後々楽です。）
３）、使用したいプリンターを右クリック。
４）、通常使うプリンターを左クリックして、緑〇に✓マークを付ける。

２台使い分けする場合は、常に上記切り替えが必要です。