BLACKが全く出ない不具合の解決方法は？

印刷品質チェックシートを印刷して、クリーニングを実施してください。
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10898
1度のクリーニングで全快しないこともあります。
上記ページのように3セット（品質チェック＆クリーニングで1セット）までを
行ってみてください。

なお上記の対応で回復する可能性があるのは、
brother純正品のカートリッジを使っているときのみです。
https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/mfcj5820dn/accessory/index.aspx#accessory-item1

非純正品インクを装着した場合は、インク搬送経路に空気が入り込んで、
インク噴射の圧力を吸収してしまうことが致命傷となります。
この場合、メーカーで修理をしない限り、回復しません。
（クリーニングのためのインク噴射もできない状態になってしまっている）

修理の場合、修理代＋引取往復送料の合計で2万3千円ほどかかります
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/mfc_color_inkjet/index.aspx

機種は違いますけど　MFC J-720D ですが、インクを新しいのに変えてヘッドクリーニングを3回続けて行ったら直りました。

純正インクではない互換インクを使っている場合や、長期にプリンターを
使っていない場合には、プリンターヘッドが詰まることがあります。

できることは、
・ヘッドクリーニングして、電源を切り、コンセントを抜いて数時間
　放置後に、再度確認。
・インクカートリッジを交換してみる（在庫があれば）

これでも改善されない場合、メーカーに問合せをして下さい。
https://www.brother.co.jp/contact/mail/index.aspx?prod=mfcj5820dn