液晶パネルが何も表示されない

こんにちは。

参考FAQ
操作パネルやボタン、液晶ディスプレイが正しく動作しません
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9556

電源を入れ直しても改善しない場合は故障を疑ったほうがいいです。
MFC-735CD/CDWは既に修理対応を終了（2015年9月末終了）していますので、新しいプリンターへ買替になります。

後継機種は以下になります。
MFC-J738DN/DWN
https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/mfcj738dn/index.aspx
＊ボディサイズがコンパクト化されました
　（735CD比、設置面積約19%削減・体積約18%削減）
　J738DN：横幅400mm×奥行341mm×高さ151mm
　735CD：横幅460mm×奥行365mm×高さ150mm
＊給紙方法が735CDの前面給紙トレイに加え、背面に封筒なら
　厚さ0.52mmまで対応する手差しトレイを搭載した2wayに
　なりました
＊コピー機能が強化され、2in1IDカードコピー、裏写り除去コピー、
　地色除去コピーが搭載されました

MFC-735CDまたはCDWでしょうか。

状況から、ノズル（インク噴射孔）のつまりがあると思われます。
印刷出来たものの印刷内容が不明ですが、
たとえば黒インクが目詰まりしている場合、
カラー3色を混ぜて黒に近い色を作っている場合は印刷出来て、
黒インクを単独で使うような場合には真っ白、ということが起こりえます。
タッチパネルの不点灯はまた別の原因と思われます。

まずはファームウェア（本体の制御プログラム）を
最新のものを適用済みか、下記の更新プログラムを実行してみてください。
ファームウェア更新ツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc735cd&os=10013&dlid=dlf104651_000&flang=1001&type3=1043

次に、「印刷品質チェックシート」を出力したいのですが、
Brotherのこの機種では、他社メーカーと違って
パソコンのドライバーから
クリーニングや印刷品質チェックシートの出力設定ができず、
タッチパネルからのみになってしまいます。

タッチパネルが不点灯であるなら、
一度電源を切り、コンセントを抜いてしばらく放置してから、
改めてコンセントを接続して電源を入れてみてください。

>テスト印刷は印刷されるのですが、
>他の印刷をすると白紙で出てきます。
こちらに関しては
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc735cd
からドライバをダウンロードしてドライバを再インストールしてみるぐらいでしょうか。

プリンタ本体の液晶パネルに何も表示されない理由は液晶部分の故障とかは考えられます。取りあえずコンセントを抜いて暫く放置して再度電源を入れ直してみるぐらいです。
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc735cd
を見ても特に液晶パネルの明るさを調整するようなボタンなどはない感じですし。

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc735cd
本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2015/10/01）

となっているので仮に故障の場合はプリンタを買い替える事になるとは思います。