mfc-j6583cdwの印刷トラブル

下記の手順で、ドライバーを入れなおしてみましょう。
1.MFC-J6583CDWの電源を切る
2.下記の手順に沿って現在のドライバーを削除
ドライバーのアンインストール方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/12011#mac
3.下記より最新のドライバーをダウンロード
フルパッケージダウンロード 【推奨】
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw&os=10060&dlid=dlf105071_000&flang=1001&type3=583
4.ダウンロードしたファイルを実行し、マウントされたディスクイメージから、インストールプログラムを起動し、画面の指示に沿って作業する
5.Macの場合はインストール後に追加作業が必要なので
(macOS)プリンターの追加方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10257
に沿って、環境設定のプリントとスキャンにて登録をしてください
6.印刷確認をする

これで確認をしてみてください。
NGの場合は、
・プリンターの接続方法（USB、無線LAN、有線LAN）
・無線LANの場合はお使いのルーターの機種名
を補足してください

取りあえず今インストールしているプリンタドライバをアンインストールしてプリンタの電源を切ってMacを再起動しましょう。
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw
からお使いのMacOSのバージョンのに合った「フルパッケージダウンロード 【推奨】」ってドライバをダウンロードしてインストールし直してみるぐらいでしょうか。