オフラインの表示になり印刷ができなくなった。

>増設のHDDに、ドライブソフトをコピーして、
>解凍、インストールしましたら、成功し、
>プリンタも動くようになりました。
問題は解決したようで良かったです。
ただOSの入った起動ドライブ（HDD/SSD）自体に何か問題を抱えている？って可能性もありますね。
念の為、注意しておいた方が良いかも。

まずオフラインになった原因ですが、PCとの接続形態で、
[PC]-(A)-[Wi-Fiルーター]-(B)-[DCP-J973N]
のようにルーターを介していて、
AやBに2.4GHz帯の無線LAN(802.11b/g/n)を利用した区間がありませんか？

2.4GHz帯の無線LANは、Blouetooth機器や無線ヘッドフォンやマウス/キーボードの普及や電子レンジなどの干渉を受け、
常に混雑しています。
プリンターは短期間にまとまってデータを授受する必要があり、
混雑の影響で十分な接続状態が担保されないと、
Windowsがオフライン設定にしてしまうことがあります。

まずは2.4GHz帯を使用しているようならば、
「お使いの無線LANルーターを再起動」させてください。
（ルーターの管理画面から操作するか、ACアダプターを抜いて1分ほど待ってから再通電）
ルーターを再起動させることで、2.4GHz帯の状態を見て、混雑している中でも少しでも状態の良いチャンネルを再選択させることで、
無線状態の改善が期待できます。

その状態で、ドライバーの再インストールをしてみてください。
ダウンロードについては
フルパッケージダウンロード 【推奨】
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj973n&os=134&dlid=dlf104548_000&flang=1001&type3=11
からダウンロードですが、
約421MBとかなり大きめのファイルなので、
ダウンロードが完了したら、実行する前に、
ファイルのプロパティから「サイズ」を見て、
420 MB (441,268,800 バイト)になっているか、確認を。
満たない場合は、回線やサーバ混雑で途中で切れてしまっているので、
いちどファイルを削除しダウンロードをやり直してください。

ドライバーのインストールにあたっては、
1.DCP-J973Nの電源を切る（以降指示があるまで切ったまま）

2.下記よりアンインストールツールをダウンロード・実行する
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj973n&os=134&dlid=dlf013746_000&flang=1001&type3=1039

3.パソコンを再起動（シャットダウン→電源オンではNG）

4.フルパッケージダウンロード のダウンロードファイルを実行して進み、パソコンとの接続方式を選ぶところで画面の指示が出たら、
速やかにDCP-J973Nの電源を入れてパソコンに検出させ、接続設定を済ませる

5.ドライバーの導入が完了したら、下記からファームウェア（プリンタ本体の制御プログラム）をダウンロードして実行し、本体に適用する
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj973n&os=134&dlid=dlf104651_000&flang=1001&type3=1043

により、ドライバーだけでなく、プリンタ本体のファームウェアも最新に更新したうえで、動作確認してみてください。

質問文を拝読する限り、現時点では
WindowsUpdateやセキュリティ対策ソフトの影響は考えにくいです。
WindowsUpdateの適用漏れがないか確認し、セキュリティ対策ソフトは最新に更新・有効にして、確認してみてください。

https://support.brother.co.jp/j/b/downloadtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj973n
から書かれている「Y17A_C1_ULWT_PP-inst-J1.EXE」をダウンロードしてみました。自己解凍形式のファイルで実行すれば普通に解凍されました。動作確認は同じWin8.1で行いました。

例えばですがZIPに対応した圧縮解凍ソフトでその「Y17A_C1_ULWT_PP-inst-J1.EXE」を開いて解凍するような手もあります。

オフラインのチェックを外せばオンラインになると思います。ドライバーはブラザーのサイトからプリンターの型番からダウンロードしてインストールです。