ハガキ印刷ができない問題解決方法を教えてください

あなたの見ているプロパティが、
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/cv_mfc6583cdw_jpn/doc/manual/index.html#GUID-87F8EBB7-47F8-4BF9-B410-E6BC2ACBBD93_56
のようなドライバーではなくて、

添付画像のような簡素な物なら、
お使いのパソコンへのMFC-J6583CDWの初期設定手順を間違えていて、
ブラザー製のドライバーが正しく適用されていません。
OS添付ドライバーとかWSDドライバーと呼ばれるものが入ってしまっている可能性があります。

その場合、
MFC-J6583CDWのドライバーを入れなおす必要があります。
下記の手順に沿って作業してください。

1.MFC-J6583CDWの電源を切る（以降指示があるまで切ったまま）

2.下記からアンインストールツールをダウンロードして実行する
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw&os=10013&dlid=dlf013746_000&flang=1001&type3=1039

3.パソコンを再起動（シャットダウン→電源オンではNG）

4.下記からフルパッケージダウンロードを入手して実行する
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw&os=10013&dlid=dlf104326_000&flang=1001&type3=11
※途中で、パソコンとの接続方式を選ぶところで、電源を入れてパソコンからプリンターを検出させる。この指示のタイミングを守って電源を入れないと、再びOS添付ドライバーが入ってしまう。

5.下記からファームウェア更新ツールを入手して実行する
※ファームウェア：プリンタ本体の制御プログラム

これで、MFC-J6583CDWのコンディションが最適化されるので、
マニュアルと同じようなドライバーが適用されているか、
改めて確認してみてください。