ファックスができない原因は？

そもそも論になりますが、ファクスよりも前の段階として、
・回線種別は正しく選択していますか？
・MFC-J820DNの受話器から、自分のスマホなどにかけてみて、
発着信はできていますか？

機器の状態を直接見られないので、
まずはそれぞれの機器の電源を入れなおしてみて、
下記を参考に、通信ボックス-プリンタ間の通信状態を把握するところから始めるのがよろしいかと思います。

「通信ボックスと接続できません」と表示されました
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10034

質問文を拝見する限り、完全に接続が切れているわけではないですが、不安定な状態にあることは間違いありませんので、
まずは電源の入れ直し、接続状態の再確認をしてください。

特に、この通信ボックスは、2.4GHz帯を使っていたはずなので、
無線LANの2.4GHz帯（802.11b/g/n）と干渉するはずです。
これらの電源再投入とは別に、
お使いの無線LANルーターがあれば、その電源再投入も実施し、
その過程で自動的に行われる、
2.4GHz帯のチャンネル再選択を実施させてください。

まずはこれで様子を見ます。
ルーターや通信ボックスの再起動で接続が安定したようなら、
ファームウェア（プリンター本体の制御プログラム）を最新のものを適用しているか、確認してください。
WindowsのPCから更新するなら
ファームウェア更新ツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj820dn&os=10013&dlid=dlf104651_000&flang=1001&type3=1043

Macから更新するなら
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj820dn&os=10060&dlid=dlf104932_000&flang=1001&type3=1043

により様子を見てください。