MFC-J6580CDWプリンタが応答しない

MFC-J6580CDWとパソコンの間を
有線LAN/無線LANならば
[PC]-(A)-[ルーター]-(B)-[プリンター]
のようにつないでいると思いますが、
A/Bそれぞれどのようにしていますか？
無線LANの区間を含むのならば、
まずはパソコンやプリンターのネットワーク設定をいじらずに、
お使いの無線LANルーターを再起動※させてみてください。
※パソコンなどからルーターの管理画面にて操作するか、
ACアダプターを抜いて1分ほど空けてから再通電

特に区間Bを無線LAN接続しているケースが多いと思います。
区間Bはプリンターの仕様により2.4GHz帯という、
Bluetoothや無線キーボード/マウス、電子レンジなど汎用の電波を使用しているために、
恒常的に混雑するようになり、また、電波の特性上干渉が発生しやすく、
電波の強度は良好であっても、通信の品質が悪く、
PCとプリンターの間でのデータ授受が滞りやすい傾向にあります。

このとき、お使いのルーターを再起動させることで、周囲の状況を見て
混雑していても少しでも条件の良いチャンネルを再選択するようになるので、
軽度な混雑であれば改善が期待できるのです。

なお、Androidスマホをお持ちなら、アイ・オー・データ機器社の
無料アプリ「Wi-Fiミレル」により、2.4GHz帯の可視化をして、
混雑を確認するのも良いでしょう。
Wi-Fiミレル
https://www.iodata.jp/ssp/magazine/68/index.htm
Wi-Fiの混雑状況をグラフで見える化！※Android版のみ

2.4GHz帯の混雑は、周辺宅の影響を受けることも多いので、
ご自身だけでは回避できませんし、電波の干渉なので、
中継機を入れれば改善されるという物でもありません。
お住まいのレイアウトや機器の仕様によりますが、
できるだけ有線LAN、無線にするなら可能な限り5GHz帯を使うようにして、
2.4GHz帯への依存度を下げる構成にすることが、宅内LANの快適化に繋がります。
MFC-J6580CDWの場合、PCとの接続は
USBで直結か、有線LANか2.4GHz帯無線LANの3択です。
どうしても「区間B」を無線化したい場合、
[ルーター]-(5GHz)-[子機モードのルーター]-(有線LAN)-[プリンター]
のように、子機モード対応のルーターを使って、
「プリンターが持つ有線LANを5GHzWi-Fiに変換する」ことも可能です。
（現在お使いのWi-Fiルーターが5GHz帯対応していることが必要）
子機モードが使える普及価格帯のルーターの例
NEC WG1200CR
https://aterm.jp/product/atermstation/product/warpstar/wg1200cr/
※背面スイッチをCNV（イーサーネットコンバーター）モードに変更
などを導入することも干渉の抑制に繋がります。

長文になりましたが
・区間BがWi-Fiならルーターの再起動
・混雑状態の把握をして必要に応じて有線LANや5GHz帯へ移行
の順番で試してみてください。

USB接続でパソコンと直結、ということならば、
いったんUSBケーブルをパソコンから抜いて、
・ブラザーのサイトで配布しているアンインストールツールでのドライバー削除
・パソコン再起動
・フルパッケージダウンロードによるドライバーの再インストール
・ファームウェアなどの差分インストール
を試してみてください。

アンインストールツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw&os=10013&dlid=dlf013746_000&flang=1001&type3=1039

フルパッケージダウンロード
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw&os=10013&dlid=dlf103168_000&flang=1001&type3=11

ファームウェア更新ツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw&os=10013&dlid=dlf104651_000&flang=1001&type3=1043