用紙サイズの不一致エラーが発生する理由と対処法

>印刷設定はハガキにPC、筆ぐるめとも設定していますがどちらに問題がある
どちらでもない可能性が高いです。
PC、筆ぐるめでもなく、用紙をプリンターにセットした際に、
DCP-J978側のパネル操作で、用紙の「サイズ」と「種類」を正しく設定していますか？
種類は、郵便局で売られている年賀ハガキだと、紙種によって3択になります。

マニュアル一覧
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj978n
↓
かんたん操作ガイド
https://download.brother.com/welcome/doc100992/cv_dcp577n_jpn_rg_a.pdf
9ページ「紙の取り扱いー用紙サイズと用紙タイプを変更する」
にそって、単にトレイにセットするだけで無く、
パネル操作をしていますか？

本体パネルでの用紙サイズと種類を正しく選択しているとしたら、
PCに導入しているドライバーがブラザー製ではなく、
OS添付ドライバーなどと呼ばれる、簡素な表示の
最低限の機能のみのドライバーが適用されている可能性があります（添付画像は一例）。
このような場合、給紙装置や紙の種類が適切に設定できないので、
A4普通紙などでは支障が無くても、用紙サイズや種類を替える場合には期待した動作ができなくなります。
この場合、ドライバーを入れ直さなくてはいけません。
USBでいきなりパソコンと繋いだり、
電源を入れたまま初期設定をすると、OS添付ドライバーが適用される可能性が高いです。

コンピューターのOSや接続方式が不明なので深入りはしませんが、
・プリンターの電源を切る
・ブラザーのダウンロードサイトからアンインストールツールをダウンロードして実行
・パソコン再起動
・フルパッケージダウンロード【推奨】をダウンロードして実行
※画面の指示に沿って進んでパソコンとの接続方法を選ぶところで電源を入れてパソコンに検知させる
・ファームウェア更新ツールなどの差分を適用
といった流れで、ドライバー類を入れ直す必要があります。