印刷面が汚れる

ドラムのクリーニングの関連もありますが、この時期は空気の乾燥が進み、プリンターの仕様よりも湿度が低くなることで、プリンター内部の電位配分（バイアスなど）が不安定になり、その様なすじの現象となる場合があります。

念のために湿度を計り、低ければ、加湿器を置いて1時間以上加湿した後で印刷してみてください。（紙の湿度が低い場合もそれは起きます）
結果が少しでも良くなれば、原因はほぼ、低湿度だと思っていいと思います。

ドラムユニットの清掃手順は
下記オンラインユーザーズガイドのとおりですが、

>上手くできず
というのは具体的にどの工程がうまくいかないですか？

ドラムユニットを清掃する
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/mfcl3770cdwa_jpn/doc/manual/index.html#GUID-044CB3AB-7451-4320-B8A4-27579A7DD229_389

なお、上記の清掃方法で回復が期待できるのは
https://www.brother.co.jp/product/printer/laserprinter/mfcl3770cdw/accessory/index.aspx
に掲載されている、
DR-293CLxxx
の純正品のドラムユニットです。

再生品や互換品といったものの場合、
もともと本来の回復性能を持っていませんので、
メンテナンスをしても回復しない可能性があります。

https://support.brother.co.jp/j/b/faqcategory.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcl3770cdw&ftype2=1059
https://support.brother.co.jp/j/b/faqlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcl3770cdw&ftype3=10011
【MFC-L3770CDW】ドラムユニットの清掃方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10234
みたいなのされているって事でしょうか。

どうしても改善しない場合は
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/index.aspx
修理点検に出してみるぐらいかと。