インクジェット用はがきの印刷に問題あり！紙詰まりを解消する方法は？

おそらく、修理ではなくて
定期的な給紙ローラーのメンテナンスを怠っていると推測されます。

ハガキは表面の紙粉（裁断粉や繊維くず、はがき同士がくっつかないように滑らせるためのコーンスターチ塗布）が多いので、
トレイから機内に用紙を送り込む給紙ローラーの表面に紙粉が付きやすく、メンテナンスを怠ると滑ってしまって給紙ができなくなります。

まずは給紙ローラー周りのメンテナンスを実施してください。
マニュアル一覧
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6510dw
↓
ユーザーズガイド ～基本編～
https://download.brother.com/welcome/doc012246/cv_mfc6710cdw_jpn_busr_leg852047_a.pdf
90ページ～「給紙ローラーを清掃する」

なお、MFC-J6510DWは2019年3月末でメーカー修理対応が満了しているので、上記のメンテナンスで回復しない（＝給紙ローラーの摩耗など）ようだと、買い替えしかない、ということになります。
https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6510dw

2012年 9月下旬 発売の古い機種。修理不可能ですね。買い替えた方がベストと思います。

ブラザー、エプソンの質問多いですね!!!
インクはやはり純正品でないと壊れる、キャノンも売れていると思うがここでの質問は2社ほどではないように見れます、キャノンは不具合が少ないのかなあー。2000年からキャノンを使っています、今は2台目でMG6230ですインクは純正しか経験がありません。二社とキャノンでは方式が違うそうですがその差があるのでしょうか、私も知りたいので閲覧させていただきます。

https://support.brother.co.jp/j/b/faqlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6510dw&ftype3=10006
あたりで表示される内容をチェックしてみるとかでしょうか…

ハガキ印刷する前のご注意（ハガキのセットについて）
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6710cdw&faqid=faq00010689_010
みたいなのもありますね。

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6510dw
本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2019/04/01）

となっており既にメーカー修理は出来ません。どうしても不具合が改善しないならプリンタ自体を買い替えましょう。