ブラックとイエローが印刷されない

>MFC-5890CN を使用
>インクも新しいものに替えて
https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/supply/index.aspx#ink13
に掲載の16番純正品でしょうか？

オンラインニューザーズガイド
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/mfc6490cn_5890cn_jp/doc/html/trouble/index.html
より
印刷テストを行う
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/mfc6490cn_5890cn_jp/doc/html/body/ug-09-15.html
と、
プリントヘッドをクリーニングする
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/mfc6490cn_5890cn_jp/doc/html/body/ug-09-13.html
を、1日に3セット程度を上限に、それ以上は実施せず、
複数日に分けて、少しずつ実施して、徐々に固まったインクがふやけてくるのを待つしか無いかも知れません。

なお、短期間にクリーニングを連続して行うと、
廃インク吸収パッドの空き容量を著しく消費します。
満杯になってしまうと修理交換が必要なのですが、
すでにこの機種は
https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc5890cn
にあるように2016年3月末でメーカー修理が終わっているため、
満杯になってしまった時点で手が出せなくなります。
クリーニングは連続でやらずに、間隔を空けながら実施してください。

暫く印刷をされていないと、プリントヘッドのノズル内のインク粘度が高くなるため目詰まりを起こし、コピーや印刷をしたいときにインクが出なくなります。

ブラックとイエローは恐らくその様な状態になっていると思います。　使用されない場合は、電源ボタンでOFFした後も電源をコンセントから抜かないで、「オートクリーニング」が始動するようにしておいた方が目詰まり対策になります。

まずは、ヘッドクリーニングをされた後、電源をOFFし、そのままコンセントからは抜かないで、おき、一定時間ごとにテストプリントをしてみてください。
少しでもブラックとイエローが印刷されるようであれば、改善の兆しですので、焦って何回もヘッドクリーニングをしないで、電源を入れたまま放置してみ下さい。　徐々に改善していけばしめたものですが、翌日になっても全く改善が見られない場合は、「修理」が必要と思います。
↓　参考
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc5890cn&faqid=faq00010604_001