プリンター部品の取り寄せ方法は？

背面の紙詰まり解除カバーのあたりでしょうか？

MFC-J820DN
https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj820dn
残念ながらすでにメーカー修理期間が終わっています。

ただし、まだ修理対応期間中の後継機種で、
同じ部品を継続使用している場合があります（どの機種と同一化までは情報を持ち得ておりませんが）ので、
この場合は、スキャンダルでも何でも無く、
正当な部品供給ですので充分可能性があります。

ここはサポートサイトからリンクされていますが、一般利用者の互助形式なので、正式な部品の共有状況は不明です。
チャットやメールなどで、直接公式情報とやりとりをしてみることをお勧めします。

メーカーから取り寄せることもできますので、近くの量販店に
問い合わせると良いかもしれません。
ただ、2013年製のようですので部品自体、在庫がないかも
しれませんね。

2013年10月上旬 発売の古い機種。取り寄せは無理です。添付写真のどの部分か不明ですが、ツメが壊れたのか判明出来ません。もう一度付けて見たらいかがでしょうか。

多分無理ですよ。

MFC-J820DN / MFC-J820DWN
https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?prod=mfcj820dn&c=jp&lang=ja

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2019/10/01）

どこの部品かがわかりませんが修理サポートは終了しているので部品は廃棄処分となっています（帳簿上）
もし部品が残っていると二重帳簿で税務署からめちゃ怒られてからの追徴金騒ぎで新聞TVの格好のネタですね。