廃インク九州パッド満杯で表示される場合の対処方法とサービスに出す際の注意点

自分で交換するのは相当な技術レベルが必要です（分解手順が一般公開されていないので、手順が違うと交換後組み直しても正常に動かないことが多いです（おそらくはセンサー関係の調整位置等が変わるため（また分解前の位置を把握するのはこんなんだと思います））
さらに印刷時に抜けが有るということはヘッド交換が必要です、ヘッドは比較的高価なのと廃盤で部品の保守期限も過ぎているので、入手は困難かつ高額になる可能性があります。
おそらくは新しい新品を買ったほうがお安くなるのでは？（当然他の部分の劣化や故障など無いです（新品ですから））
プリンターの寿命に合わせて廃インクパッドの容量を決めていると考えるべきです、ですから使用頻度が高い業務用製品は廃インクパッドがカートリッジ式になっているものもあります。

DCP-J940Nですが、2012年の秋冬モデルですから、質問者様がご購入されてからすでに8年以上経過しているものと思われます。
で、メーカーでの修理対応は2019/4/1に既に終了しています。
参考　https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?prod=dcpj940n&c=jp&lang=ja
残念ながら、ブラザーに依頼しての廃インク吸収パッド交換は既にできません。

自分で行う、となると「本体を分解する」「廃インク吸収パッドを取り出す」「洗浄する」「元に戻す」「ソフト的に廃インク吸収カウンタをリセットする」という作業が必要となります。
「DCP-J940N　廃インクパッド」等の語句で検索をかけると、対応方法が見つかるかと思われます。

ただ、既にY,M,Cの印字欠けが見られること、カラープリントに筋が出てしまうことから考えると、仮に手間暇をかけて廃インクパッドの問題をクリアしたとしても印字クオリティ自体が回復する訳ではありません。仮にブラザーに依頼して交換した場合、2万円弱の費用がかかることになります。
参考　https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/mymio/index.aspx
そろそろ寿命と考えて、「仮に修理をしたとしたときにかかる費用」で新しいプリンタに買い換えるのが一番正解かと思われます。

以上、ご参考まで。