J827DWNでfax受信送信ができない問題の対処法とは？

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj827dn
こちらですか。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2021/04/01）

となっているので万一修理が必要だった場合は修理は出来ず買い替えとなりますね。

>電源切る作業や通信ボックスでのリセット作業も数度したのですが…
電源を切って念の為、コンセントも抜いて暫くしてから電源を入れ直してみるとか。

あとは
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj827dn
「ユーザーズガイド ～基本編～」の258ページを確認して、通信ボックスとプリンタ本体の距離を1～2m程度に近づけてもう一度通信ボックスと複合機本体の接続をやり直すとか。
また263ページを参考に全設定リセットをして初期設定からやり直して見るとか。
それでもダメなら故障が疑われます。

>J827DWN
似た機種が多いので型番は正確に記載してください。
略されると、記載された部分も果たして合っているのか、
直接実機を見られない側は疑心暗鬼になってしまいます。
ここでボタンを掛け違っていたらそもそも操作手順も異なります。
MFC-J827DN / MFC-J827DWN
https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj827dn
の前提で記載します。

質問文を読む限り、とにかくまずは
親機と通信ボックスをつながないことには先に進めない状況です。

>電源切る作業や通信ボックスでのリセット作業も数度した
このときに通信ボックスと親機の間がつながらないならば、
その先のどのような作業も効かないと思いますので、

マニュアル一覧
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj827dn
↓
ユーザーズガイド ～基本編～
https://download.brother.com/welcome/doc100235/cv_mfc827dn_jpn_usr_leu774047.pdf
258ページ「複合機本体と通信ボックスの通信がうまくいかないときは」を行って、再接続をしてください。
※原因の切り分けのため、一時的に本体親機を通信ボックスの近くに移動させて行ってください。

つながったら259ページ「特別な回線に合わせて設定する」の確認もしてください。