突然印刷できなくなったDCP-J940nプリンターについての質問

確認ありがとうございます。
>その際ご指示の11番には【印刷できません】と出ております。
しつこくて恐縮ですが、
「印刷できません」の後に続けて、「2桁の英数字」が出ていませんか？
この2桁が、主要因を示唆する情報になります。

「印刷できませんXX」「初期化できませんXX」
「スキャンできませんXX」「クリーニングできませんXX」
という表示が出て、本製品が使用できない場合
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10657?

に、おおよその要因が出ますので、
それによって対処を目指すことになります。

他の方が回答されていますが印刷品質チェックシートの印刷も出来ないとなると故障の疑いはありますね。

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj940n

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2019/04/01）

となっているのでメーカーでの修理は既に出来ませんので故障の場合はプリンタの買い替えって事になります。

>「印刷テストを行う」を早速試してみましたがピピピと警音が鳴るだけで反応なし

繰り返しになってしまいますが、
DCP-J940Nの液晶パネルには、特段、メッセージはないのですか？

印刷品質チェックシートの印刷操作を始められるのであれば、
>待ち受け画面の【インク】を押す
の時点でそもそも押せないと思うのですが、
「ピピピ」はどの段階で起きているのでしょう？

同23ページ「待ち受け画面」の、
メッセージ表示例のところ、添付画像11番のところに、
何かメッセージが出ていませんか？

>「プリンターエラーです。BROTHER　DCP-J940n　printerはエラーの状態です」
これはパソコン側の表示だと思います。
DCP-J940Nの液晶パネルには何らかのエラーが提示されていますか？
特に従前と変わらずで、
マニュアル一覧
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj940n
↓
ユーザーズガイド ～基本編～
https://download.brother.com/welcome/doc012332/dcp940n_jpn_busr_leg449047_a.pdf
79ページ右側「印刷テストを行う」を実行できるのなら、
とりあえずプリンター本体は異常なし、と現段階では言えるでしょう。

そうなると、
・パソコンとプリンターの間の接続確認（USB？無線LAN？有線LAN？）
・パソコンへのドライバーの再導入
を試すことになるかと思いますが、
これらについては、プリンター自体が動作することが前提なので、
まずは印刷品質チェックシートが印刷できるのか確認が必要です。