黒インクが印刷されない原因と対処方法

>純正の黒インクを購入しセットした
空気孔が正しく開放していない可能性があります。

マニュアル一覧
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5820dn
↓
ユーザーズガイド ～応用編～
https://download.brother.com/welcome/doc100240/cv_mfc4720n_jpn_ausr.pdf
172-173ページ「インクカートリッジを交換する」にそって、
特に手順4のところの保護カバー除去のところです
まだ保護カバーが手元にあれば、
再装着してレバーの回転からもう一度やり直してみてください。

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5820dn
こちらですね。他の方が回答されていますが

ヘッドクリーニングの方法
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5820dn&faqid=faq53100017_014
には

1回のヘッドクリーニングで問題が解決しない場合、何度かクリーニングを行なうことで、解決できる場合があります。ヘッドクリーニングを5回行なっても問題が解決しない場合は、コールセンター（お客様相談窓口）にご連絡ください。

とあるので現状だと修理・点検に出すしか無いかも知れませんね。
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/index.aspx
ただし結構な費用は掛かりますが。

自分はMFC-J980DNを使っていますが、似たような症状（黒だけ印刷出来ない）になってブラザーに問い合わせしたところ修理が必要との判断でした。
それでも諦めずにヘッドクリーニング➡テストプリントの繰り返しを続けたところ少しずつ印刷出来るようになって最終的にはすべてのカラーが綺麗にプリントされました。
クリーニング回数は10回以上しました。
私と同じ状態かはわかりませんが参考までに。
（もし試すのであればインクの消費は覚悟しないと）