DCP-J4210Nでブラックインクが印刷されません

>念のためインクも交換しました。
インクですが、
https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/supply/index.aspx#ink04
に掲載の113/115/117番のブラザー純正品を継続して利用していますか？
非純正品を使っているのなら、インクの噴射経路に気泡が入り、
そもそも噴射できなくなっている可能性があります。
この場合は修理を受けないと回復しませんが、
残念ながらすでに2018年3月末でメーカー修理が終わってしまっているので、手の打ちようがありません。

したがって、
正しいクリーニング手順で回復に期待するしかありません。
マニュアル一覧
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj4210n
↓
ユーザーズガイド ～基本編～
https://download.brother.com/welcome/doc012373/dcp4210n_jpn_busr_lek176047_a.pdf
78ページ「印刷テストを行う」を1日3セットくらいまでに押さえ、
それで改善傾向が見られない場合は、一旦電源ボタンで電源を切って、ひと晩ほど放置してから、改めて翌日に3セットまでをメドに
印刷品質チェックシート→クリーニングを行い、
テストパターンに回復傾向が見られるようなら、1日3回ペースで繰り返して回復させていくしか、現状としては無いでしょう。

ブラック（BK）インクはモノクロ印刷専用でもあり　通常のカラー印刷では使われないインク　普段の印刷種類によってはプリントヘッドでインク詰まりしやすいです
自動クリーニングでは足りない　１年以上経過するとインク濃度が高くなり固まりやすい

紙の上を動く部品　インクタンクから先のパイプなので　インクを交換しても変わらない場合が多いです
醤油差しの先が詰まっているのに中身だけ入れ替えても役に立たない

2012年製プリンター　2018年に修理サポート終了
https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?prod=dcpj4210n&c=jp&lang=ja

買換えを検討された方が良いんじゃないか？と感じます

市販　外品の目詰まり解消製品の利用経験は無いので効果の有無は不明です
キヤノンやエプソンなどのカートリッジ式と違って　大容量タイプのようにインクタンクとプリントヘッドの間が長い　管が長い