無線LAN変更後のDCP-J962Nの問題について

難しく考えることはありません。
ややこしい状態になっているのかもしれませんので、単純に購入時のインストールと同じことをすれば良いのです。そのために、
①プリンター本体の操作でリセット
②パソコン側の操作でプリンタードライバーを削除
③再インストール
この3点をすれば改善すると思われます。
順番としては、
・プリンター側の操作でネットワーク初期化を実行
・一旦、プリンタードライバーをアンインストール（ここ大事※以下ページよりアンインストールツールを使用してください）してプリンターの電源を切りPCを再起動
・以下ページより、フルパッケージダウンロード 【推奨】（ここも大事）を選択しダウンロード
・ダウンロードしたフルパッケージドライバーを再インストール
これで症状が改善されるかご確認ください。

ソフトウェアダウンロード
↓↓↓↓↓
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj962n

まずはプリンターのIPアドレスの設定を確認してください。次にパソコンのIPアドレスの設定も確認。

どちらも自動取得になっていたとしたら以前のルーターの設定(DHCPの付与するIPアドレスの設定)と異なる設定になっているのが原因かもしれません。

パソコン側のプリンターIPアドレスが固定(直接指定)になっていたとしたら、ルーターのDHCP設定が変わった事によるアドレスがドライバーの設定値と変わったのが原因。
そうじゃなかったとしても、自動車と苦難だからルーターが変わった際にプリンターに割り当てられるIPアドレスが変わった為に同様の理由でパソコンからプリンターのIPアドレスからの応答が中井から見つからない･･･という結果になったんだと思います。

解決策としてはパソコン側のプリンタードライバーの再インストールが手っ取り早いと思います。

DCP-J962Nに登録されているネットワーク設定値をリセットし
DCP-J962Nを以前のwifiルーターとの接続をしたように
新しいwifiルーターとの接続をしてから
パソコンのDCP-J962Nドライバーを削除し
再度DCP-J962Nドライバーをインストールする必要があります。

ブラザーQ&A　
ルーターモデムを変更したら無線LANに接続できません
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10316?utm_source=bsc&utm_medium=redirect&utm_campaign=faq_faqend
ネットワークの設定値のリセット
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9985
ドライバーのアンインストール方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/12011
DCP-J962N　かんたん設置ガイド
https://download.brother.com/welcome/doc100435/cv_dcp562n_jpn_qsg.pdf

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj962n
こちらですね。

アンインストールツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj962n&os=10013&dlid=dlf013746_000&flang=1001&type3=1039
を使って現在インストールしているドライバをアンインストールしてプリンタの電源を切ってPCを再起動します。

フルパッケージダウンロード 【推奨】
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj962n&os=10013&dlid=dlf102162_000&flang=1001&type3=11
をダウンロードしてセットアップを開始し画面の指示に従いプリンタの電源を入れてドライバを入れ直してみてはどうでしょう。

【インクジェット/レーザー プリンター】操作パネルから手動設定で無線LANに接続する方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10305
を参考に無線LANの手動設定をしてみるのも良いかも。
あとはルーターを交換したのならルーターのWeb設定画面をブラウザで開いて無線の暗号化がWPA3になっている様ならWPA2に変更したり2.4GHz帯の電波が出力されるように設定されているか？確認したり
子機間の通信を遮断するような設定が有効になっていないか？確認してみましょう。