記録紙送れません　DCP7065DNのトラブル解決方法とは？

こちらの方法は試されましたでしょうか？
↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10355?utm_source=bsc&utm_medium=redirect&utm_campaign=faq_faqend

もし既に試されたのであれば、パソコンの方に紙詰まりがあった時のデータが残っている可能性があります。
下記の方法で印刷ジョブを削除してみてください。
↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10773?utm_source=bsc&utm_medium=redirect&utm_campaign=faq_faqend

ドライバーの破損で同じような現象が起きる場合があります。
下記のメーカサイトに置いてある「アンインストールツール」で現在のドライバーを削除後、「フルパッケージダウンロード 【推奨】」あるいは「オートマチックドライバインストーラー」を使って新しくドライバーを入れ直してみては如何でしょうか。
↓　
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcp7065dn

このサイトには他にも色々と便利なツールが置いてありますので可能な範囲で試されたら良いかもしれないです。

修理サポートが終了した製品においては、給紙ローラーや排紙ローラーの内部部品のローター軸劣化による不具合や
センサー故障で本来修理となるべき故障の可能性が高いです。

以下動画が参考になりますでしょうか？レーザープリンターとのことですので関係ないかもしれませんが…
また、紙詰まり解消シートが付属されている場合は使用されましたか？
ご自身で紙詰まりを解消できない場合は残念ですが修理または買い替えとなります。

詰まった紙を取り除いてもエラーが消えないときは【紙詰まり解消シート】
↓↓↓↓↓
https://m.youtube.com/watch?v=OmmXAbGbi7I

故障の可能性が高そうに感じますが

実際にトレイは空だった？　１枚でも残っていたら紙送り機能の故障と判断して良いと思います
次の用紙引き出しの空転で部品損傷の可能性も考えられますが

コンセントを抜いて　１０分程度待ち　通電起動すると初期動作チェックのウォーミングアップが実施される　その時点でエラーが発生しても本体故障と考えて良いと思います

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcp7065dn
こちらでしょうか。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2020/04/01）

となっているので修理が必要な場合は買い替えとなります。

【レーザー プリンター】紙が送れない
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10355
あたりを参考に給紙ローラーや分離パッドの清掃はしたって事ですね。それでも改善しないなら修理に出すぐらいしか無いですがその修理も出来ないのでプリンタを買い替える事になるかと。