留守番電話が途中で切れるトラブルについて

おそらく同じ症状っぽいですね。
初期化したりしても改善しなければ、故障しているため修理を要する案件かもしれませんね。
今回はお役に立てれず申し訳ございません。
もし、解決しましたら後学のために補足していただけると同じようなお困りの方の助けになるかもしれません。

No.2 です。
補足を確認しました。やはり機械の問題だと思われます。No.2に記載したメーカーサポートにご相談ください。

念のための確認ですが、録音時間の設定はされていませんでしょうか。下記で確認可能です。仕様上、最大で3分までとのことです。
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/cv_dcp526nb_jpn_oug/doc/html/GUID-CB58C54F-2850-44CF-AF7D-4E79B7D34E2A_200.html?c=jp&lang=ja&prod=mfcj739dn&broug=in

また、相手の方の回線の問題の可能性もありますが、違う人からの電話でも複数回発生しているようであれば、機械の不具合の可能性もあります。こちらのフォーラムではユーザー側からの視点でしか解決できないため、詳細はメーカーに確認した方が良いと思われます。
https://faq.brother.co.jp/app/interview/contact_channel_select_004/p/1

その際に下記の情報を伝えるとスムーズだと思います。
・複数の相手で同じ現象が出ている
・何秒くらいで切れる

他の方の例ですが、無音状態になると自動的に切れてしまう現象が起きたようです。
解決策は不明ですが、
一度関係する全ての機器類の再起動をしてみたり、コードの抜き差しをしてみたり、MFC-J739DNの操作で初期化して製品を購入時の状態に戻したりしてみてはいかがでしょうか？

また、一度ご自身が無音で録音できるか電話してみて試されてみてはいかがでしょうか？