クリーニングを何回も繰り返しても改善しない

それは正しい。ヘッドクリーニングを何回も繰り返せばよいというものでは、ないので。

しかし、購入して１ヶ月で黒色がかすれ出すのは早すぎる。販売店かプリンターメーカーに電話して相談するのがよい。

2021年 6月発売の機種。初期不良の可能性があります。販売店に問い合わせして下さい。販売店によっては保証期間内なので交換になる可能性がありますね。

購入して１ヶ月とは
　DCP-J981Nのことですかブラックインクの事ですか？

ブラックインクの事だとして
クリーニングを繰り返しても改善されないのならば
実録！洗浄カートリッジの使用方法のご紹介！
https://www.chips-shop.com/inkpedia/3176/
を使用してみますか？
　　機種とインク型番を選んで購入です
但し洗浄カートリッジを使用したからと言って必ず改善されるわけではありません

ヘッドクリーニングを何回かされても改善しないのでしたら5時間程時間を空け、再度チェックしてみてはいかがでしょうか？
インク吐出経路に損傷や亀裂が生じインク漏れが発生することもまれにあるようです。
その場合は修理しか方法がありません。

まず、印刷品質チェックシートの印刷結果はどのようになっていたのでしょうか？
また、純正インクをご使用でしょうか？
どのくらいの期間、どういう環境にさらされ、どのくらいの量をどのくらいのインターバルで印刷されていたのかわかりかねますが、
おそらくインクヘッドが乾燥もしくはインク残渣の堆積物による目詰まりを起こしているのではないでしょうか。
もしくはインクを入れ替えたのでしたらその際に気泡が生じ、気泡が消える（落ち着く）まで印字できない状態になっている可能性があります。
インクカートリッジを変えたから、ヘッドクリーニングして良くなったからといってすぐ改善することはほぼありません。
また1日にヘッドクリーニングを何十回してもさほど効果はありません。
時間を置いてから改善しているか状況を見ながら
毎日、ヘッドクリーニングを4回その後電源プラグを抜き1日放置
これを繰り返して良くなれば回復の可能性がありますが…
プリンターの初期化、ファームウェアの更新やプリンタードライバーを入れ直して改善したというケースもありますのでご参考までに。
改善の見込みがなければ修理となりますが、補修用性能部品の保有期間を既に過ぎている製品であれば、
修理をすることができませんので、残念ですが買い替えとなります。
以下、参照願います。

【インクジェット プリンター】インクが出ない/白紙になる/色合いがおかしい
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10644/