印刷品質チェックと改善を何度行ってもかすれる

5回やってだめなら10回、10回でダメなら20回やるんです。
ヘッドクリーニングしか手立てがないのだからインクをさんざん消費したって新品を買うよりやすいでしょ？もうしょうがありません。
裏技ですが、インターバルクリーニングという方法があり、クリーニングの間に色ベタの印刷を挟むと回数が少なくて済む、という民間療法（都市伝説）があります。
ライターでヘッドをあぶるなんていう荒業よりダメージレスです。
もう執念しかありません。
挫折した人は新しいプリンタ購入をお勧めします。

①純正のインクで乾いてない、比較的新しいインクをご使用ですか？
長期間プリンターを使用しなかったり、互換インクを使用していると、インクが目詰まりします。インクを1度脱着してみるのも良いでしょう。インクは正しく取り付けられていますか？
②用紙は乾燥していないもの、品質の高いもの、よくさばいて、正しく用紙トレイにセットされていますか？
③プリンターの内部清掃を行っていますか？
④https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj963n　PDF説明書を読みなおしてください。
⑤該当プリンターのQ＆Aから、検索してみてください。
⑥【インクジェット プリンター】インクが出ない/白紙になる/色合いがおかしい
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10644
印刷品質チェックシートのチェック
クリーニングの強さが選択できる場合は、［強力］を選択します。
クリーニングの強さを選択できない場合は、3回連続でクリーニングを行なってください。3回連続で行なうことにより、より強いクリーニングがかかります。間隔をあけず、連続でのクリーニングをお試しください。プリントヘッドのノズルが詰まっている可能性があります。以下の手順でヘッドクリーニングを行なってください。
⑦インクの検知機部分が故障している可能性があります。
⑧【インクジェット/レーザー プリンター】(Windows)今まで印刷できていたのに、突然印刷できなくなった
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10255/kw/%E5%8D%B0%E5%88%B7/p/1
⑨【インクジェット/レーザー プリンター】（Windows）マニュアルやQ&Aで案内している印刷設定画面が表示されません
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10732/kw/%E5%8D%B0%E5%88%B7/p/1
⑩【インクジェット/レーザー プリンター】印刷するポートの確認と追加方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9969/kw/%E5%8D%B0%E5%88%B7/p/1
⑪【インクジェット/レーザー プリンター】ステータスモニターに「オフライン状態です」と表示されます
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10259/kw/%E5%8D%B0%E5%88%B7/p/1
⑫【インクジェット プリンター】製品を交換／修理した後、もしくは、ドライバーの接続先を変更した後、パソコンから印刷したときにスジ状の色ムラが目立つようになりました
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13219/kw/%E5%8D%B0%E5%88%B7/p/1
⑬【インクジェット プリンター】「印刷できませんXX」「初期化できませんXX」「スキャンできませんXX」「クリーニングできませんXX」という表示が出て、本製品が使用できない場合
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10657/kw/%E5%8D%B0%E5%88%B7/p/1
⑭【インクジェット プリンター】印刷方法や設定について
パソコンからの印刷の方法や設定を動画でご案内しています。
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13187/kw/%E5%8D%B0%E5%88%B7/p/1
⑮【インクジェット プリンター】給紙ローラーの清掃方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10620
⑯【インクジェット/レーザー プリンター】本製品をインターネットに接続して更新する（プリンターファームウェアを最新にする）
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9871/kw/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%82%A2/p/1
⑰https://download.brother.com/welcome/doc100439/cv_dcp562n_jpn_busr.pdf　43ページから45ページを参照してください
⑱https://download.brother.com/welcome/doc100439/cv_dcp562n_jpn_busr.pdf　59ページから60ページを参照してください。
⑲https://download.brother.com/welcome/doc100443/cv_dcp562n_jpn_ausr_a.pdf　142ページから145ページを参照してください。
⑳https://download.brother.com/welcome/doc100443/cv_dcp562n_jpn_ausr_a.pdf　146ページから149ページを参照してください

症状が改善しない場合は、メーカー公式チャットサポートにご相談してください。
https://faq.brother.co.jp/app/interview/contact_channel_select_003/p/1

自力で修理改善する人も少なからずいますね。
機種違いですが、買い替える前にチャレンジするのも...
https://www.youtube.com/watch?v=zDCd1WpZSTg&ab_channel=%E3%82%BF%E3%82%B1%E3%83%AB

純正インクをお使いでしたら、もう寿命と思われます。
DCP-J963N-W/B：販売終了

ヘッドクリーニングを何回かされても改善しないのでしたら5時間程時間を空け、再度チェックしてみてはいかがでしょうか？
インク吐出経路に損傷や亀裂が生じインク漏れが発生することもまれにあるようです。
その場合は修理しか方法がありません。

まず、印刷品質チェックシートの印刷結果はどのようになっていたのでしょうか？
また、純正インクをご使用でしょうか？
どのくらいの期間、どういう環境にさらされ、どのくらいの量をどのくらいのインターバルで印刷されていたのかわかりかねますが、
おそらくインクヘッドが乾燥もしくはインク残渣の堆積物による目詰まりを起こしているのではないでしょうか。
もしくはインクを入れ替えたのでしたらその際に気泡が生じ、気泡が消える（落ち着く）まで印字できない状態になっている可能性があります。
インクカートリッジを変えたから、ヘッドクリーニングして良くなったからといってすぐ改善することはほぼありません。
また1日にヘッドクリーニングを何十回してもさほど効果はありません。
時間を置いてから改善しているか状況を見ながら
毎日、ヘッドクリーニングを4回その後電源プラグを抜き1日放置
これを繰り返して良くなれば回復の可能性がありますが…
洗浄カートリッジを使用してみるという意見もありますが、洗浄カートリッジは純正品では存在しません。故障の原因となりますのであまりおすすめできません。
最終手段でのご使用を検討されると良いかもしれません。
プリンターの初期化、ファームウェアの更新やプリンタードライバーを入れ直して改善したというケースもありますのでご参考までに。
改善の見込みがなければ修理となりますが、補修用性能部品の保有期間を既に過ぎている製品であれば、
修理をすることができませんので、残念ですが買い替えとなります。
以下、参照願います。

【インクジェット プリンター】インクが出ない/白紙になる/色合いがおかしい
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10644/