再起動しないと印刷できない

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcl3770cdw
こちらですね。

【レーザー プリンター】「印刷できませんXX」「初期化できませんXX」「スキャンできませんXX」「クリーニングできませんXX」という表示が出ています
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10359
を見てもエラーコードが05については記載がないですね。

>まだ購入して半年も経っていないと思います・・・。
であれば一度

カラーレーザー/LED プリンター・複合機の修理サービス
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/color_laser/index.aspx
修理点検に出してみるとか。

MFC-L3770CDWの事でしょうか…正確な型番を記載されることをおすすめします。

症状を鑑みるに明らかに内部的な問題が発生している模様です。ヒーター制御箇所なのかどうかわかりませんが修理を要する案件かと思われます。
修理依頼もしくは買い替えをご検討してみてはいかがでしょうか？

ブラザーホームページで掲載してある対処法を試されたり、インターネット等でご自身で調べられたり、掲載が無くともこれをすれば改善するかもしれないと試されたり、ご自身でもうこれ以上は対処法ないのではないかと思うまで試しても解決しないのであれば、
おそらく内部的な故障と思われます。電源プラグを抜き数分後に再度入れ直しても改善しないのであればほぼ復旧不可能です。数日間電源プラグを抜いたりプリンタードライバーを再インストールすることで改善したケースも稀にあるようですのでご参考までに。

「初期化できません XX」や「スキャンできません AF」や「〇〇できません XX」
が発生した場合、以下ページを参照し、解決しなければほぼ自力で直すすべはありません。
残念ながら修理となります。尚、補修用性能部品の保有期間を既に過ぎている製品であれば修理できず買い替えとなります。
購入後まもなく出た場合であれば初期不良の可能性が非常に高いため購入店舗にご相談されてみてはいかがでしょうか？

【レーザー プリンター】「印刷できませんXX」「初期化できませんXX」「スキャンできませんXX」「クリーニングできませんXX」という表示が出ています
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10359/

室内の気温が低すぎるのかもしれません。部屋を暖かくして、しばらく待ってみて下さい。