アプリが起動しない、開かない

アプリを入れ直してもダメでしたか。

https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=es_ql820nwbjp
マニュアルを参考にプリンタと無線LANルーターの接続からやり直してみるぐらいでしょうか。

それぞれの機器がWi-Fiに接続されていてもスマホ〜プリンター間が正常に接続できていなければ意味がありません。
プリンターの電源を入れられるまでにどのくらいの期間が空いていたのか不明ですが、IPアドレスが変わった可能性は考えられないでしょうか？
その場合、アプリを入れ直して最初から登録しなおすのが手っ取り早い方法かもしれませんね。
スマホからハガキ印刷の場合はハガキ印刷アプリを使用することになります。
・無線LANルーターの再起動
・スマホ/タブレットの再起動
・プリンターの再起動
・スマホ/タブレットのアップデート
・アプリのアップデート
・スマホ/タブレット＆プリンターのネットワークリセットをして最初から接続をやり直してみる
・プリンター本体の操作でネットワーク初期化＆スマホ/タブレットも再登録してみる

改善すると良いですね。

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から印刷やスキャンをする方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10137/

スマホから印刷してみましょう(ブラザーサポートブログ)
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http://sblog.brother.co.jp/weblog/2015/04/post-8de4.html

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から年賀状を印刷する方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13366/

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
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https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

>QL800NW
該当する製品が見当たらないです。
https://www.brother.co.jp/product/labelprinter/ql800/spec/index.aspx
https://www.brother.co.jp/product/labelprinter/ql820nwb/spec/index.aspx
の2つが当てはまりそうな気はします。
QL-800の方だとすると

https://support.brother.co.jp/j/b/oslist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=es_ql800jp
iOSは対応OSに含まれていません。　

インターフェイス：USB Ver.2.0 Full Speed（Bタイプ ペリフェラル）

とUSB接続しかできませんから。QL-820NWBの方なら無線LANやBluetoothに対応しているので

https://support.brother.co.jp/j/b/oslist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=es_ql820nwbjp
対応OSにiOSは含まれています。アプリが開かないならアプリ自体を入れ直してみるぐらいです。

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=es_ql800jp

こちらですか？
iOSへの対応は終了しております。