Wi-Fiルーター機種変更後のスキャンに関するトラブル

【環境設定からプリンターの設定を行おうとするのですが、インストールしたはずのプリンターが表示されないのです。】
何のソフトを使用しての環境設定なのでしょうか？

アプリの印刷時での印刷設定ではなく、プリンターの基本設定できちんとインストールされているのか今一度お確かめください。
[スタート]-[設定]-[デバイス]-[プリンターとスキャナー]-[管理]-[印刷設定]

まず、以下ページをご覧になられましたでしょうか？

【インクジェット/レーザー プリンター】ルーターモデムを変更したら無線LANに接続できません
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10316/

ネットワーク情報が変更されたため、プリンタードライバーを入れ直すことにより解決するのではないでしょうか？
付属CDを使用するのではなく、ブラザーホームページよりプリンタードライバーを入れ直してみてください。

・プリンターの操作でネットワーク初期化をしてプリンターの電源を切る
　※この時USB接続されている場合は抜いておく
・一旦、プリンタードライバーをアンインストールしてPCを再起動
・以下ページより、フルパッケージダウンロード 【推奨】を選択しダウンロード
・ダウンロードしたフルパッケージドライバーを再インストール
これで症状が改善されるかご確認ください。

改善しなければ以下項目について対処後、再度試してみてはいかがでしょうか？
　※標準ドライバーがインストールされていたらそれも削除
　※同じようなプリンタードライバーを登録していればそれも削除
　※ブラザー公式のアンインストールツールを使用してください
　※セキュリティソフトを一時停止してください

【インクジェット/レーザー プリンター】(Windows)今まで印刷できていたのに、突然印刷できなくなった
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10255/

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/

ソフトウェアダウンロード
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https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx

ルータ機種がわかりませんが、モバイルルータというのは大概、「端末間通信ブロック機能」がオンになっていて、Wi-Fi接続した端末間の通信を遮断するような設定になっています。
これは、他人に勝手にWi-Fi接続されても、自端末への攻撃を防ぐことが出来るという設定ではあるのですが、ネットワークプリントしたい場合には障害になってしまいます。

ルータの管理(設定)画面にログインし、Wi-Fi設定かLAN設定あたりに、「プライバシーセパレータ」とか「端末間通信拒否/許可」といった項目名の設定があると思いますので、端末間通信ができるように設定しなおしてみてください。