ルーターを変えたら通信方式が異なるようで接続できない、どのようにすればいいか

＞SSIDの通信方式に2.5、5GHzと表示なし

まず根本的なお話として　無線接続に2.5Ghzはありません
2.4Ghzです

今回のケースではまず使っている無線親機の性能からです

添付されている画像からIO・DATA社の無線ルータである事はわかります

また形状からみるとWN系の無線親機であるとも思えます

まずこの親機が2つの周波数帯域のSSIDを発信する機器なのかどうかです

この形状のWN系の無線親機でもWN-SX300FRでは2.4Ghz帯の周波数SSIDだけしか発信しません（横に貼られているシールから多分この2.4GHz帯のみ対応の無線親機を使っているように見えます）

次にMFC-J837DNですが、無線接続で利用する場合、このプリンターは2.4Ghz帯の周波数だけしか対応していません


つまり仮に無線親機が2.4Ghzと5.0GHz周波数対応していたとしてもMFC-J837DNは無線親機との接続には2.4Ghz帯での接続利用になります

結論から言うと、プリンターをどちらの周波数帯で接続しようが変わりはありませんし、困るような事は起こりません

困る場合があるとすればBuffalo社の無線親機を使った場合くらいです

Buffalo社の場合違う周波数帯のSSIDに接続した機器同士はセパレーター機能で通信が遮断される機器がありますが、他社製品は違う周波数帯接続機器間でも通信は行えます

セパレータ機能を解除してやればいいだけなので、もし通信遮断された場合にもその設定見直しすればいいだけですので、この点も心配はいらないです

WiFiルーターに表示が無い場合で、そのルーターに　WPS/AOSS™　機能がついていれば（その表示のボタンがついていれば）、下記の方法でプリンターをルーターに認識させることが出来ます。
↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10327

ドライバーは下記のサイトから、それぞれの　OSに合ったドライバーを入試して再インストールをしてみる事をお奨めします。

Windows10の場合は「アンインストールツール」で現状のドライバーを削除後、「フルパッケージダウンロード 【推奨】」でドライバーをインストールします。

iOS　の場合、　このプリンターは　AirPrintが使えますので下記のサイトの方法でつないでみてください。
↓
https://support.apple.com/ja-jp/guide/mac-help/mh35838/mac

https://support.apple.com/ja-jp/HT201387

AirPrintがサポートしているプリンターリスト
↓
https://support.apple.com/ja-jp/HT201311

まず、機器類（プリンター・PC/スマホ・無線LANルーター等）の再起動をして改善するか確認してみてはいかがでしょうか。
Wi-Fiの再起動においては
下記ページの要領で再起動をすることにより改善する可能性があります。
一度されてみてはいかがでしょうか？
https://www.iodata.jp/support/qanda/answer/s20269.htm

Wi-Fiの機器名がわからないためよくわかりませんが、
Wi-Fiの設定を見直すことができるのであればやってみてください。
・WPA3やWPAになっていればWPA/WPA2-PSK（AES+TKIP）にする
・5GHzであれば2.4GHzにする
・IPv6になっていればIPv4にする（IPv6非対応機種の場合）
・プライバシーセパレーターがONになっていればOFFにする
・ルーター機能付モデムとは別に無線LANルーターを取り付けられているのでしたらブリッジモードなど適切なモードになっているか確認する
※二重ルーターになっているかどうかは以下ページの要領で確認できます。
https://kaisen.netmile.co.jp/nijuurutar-kakunin