黒色が出ないトラブルについて

このプリンターのインクは
ブラックに顔料インク　他色に染料インクが使われています。

純正インクを使用していますか？
染料インクは溶媒に溶けていますが、顔料インクは溶媒に溶けているわけではなく
顔料を細かく分散して出来ています。（その分染料インクよりノズルに詰まりやすい)
互換インクは純正インクと比べて顔料粒子が大きい可能性が高いので、ノズルに詰まりやすい可能性が高いです。
印刷品質チェックを実行する
https://www.headcln-incprint.net/brother/print.html

ヘッドクリーニングを実行する
https://www.headcln-incprint.net/brother/headcleaning.html

一旦ノズルが詰まると、なかなか回復しません。
根気よく何日かに跨ってヘッドクリーニングをやってください。
ここに書いてあることを実行してみてください。
実行してみてダメな場合は残念ながら修理に出すことになります。

【インクジェット プリンター】オンライン修理申し込み
https://myportal.brother.co.jp/ContactUs/RepairRequest1.aspx?model=MFC-J6573CDW&type=public&repairType=normal
19,800円(税込)＋送料（お手軽引取サービス）2,750円(税込)

ヘッドクリーニングを何回かされても改善しないのでしたら5時間程時間を空け、再度チェックしてみてはいかがでしょうか？
インク吐出経路に損傷や亀裂が生じインク漏れが発生することもまれにあるようです。
その場合は修理しか方法がありません。

まず、ノズルチェックシートの印刷結果はどのようになっていたのでしょうか？
また、純正インクをご使用でしょうか？
どのくらいの期間、どういう環境にさらされ、どのくらいの量をどのくらいのインターバルで印刷されていたのかわかりかねますが、
おそらくインクヘッドが乾燥もしくはインク残渣の堆積物による目詰まりを起こしているのではないでしょうか。
もしくはインクを入れ替えたのでしたらその際に気泡が生じ、気泡が消える（落ち着く）まで印字できない状態になっている可能性があります。
インクカートリッジを変えたから、ヘッドクリーニングして良くなったからといってすぐ改善することはほぼありません。
また1日にヘッドクリーニングを何十回してもさほど効果はありません。
時間を置いてから改善しているか状況を見ながら
毎日、ヘッドクリーニングを4回その後電源プラグを抜き1日放置
これを繰り返して良くなれば回復の可能性がありますが…
洗浄カートリッジを使用してみるという意見もありますが、洗浄カートリッジは純正品では存在しません。故障の原因となりますのであまりおすすめできません。
最終手段でのご使用を検討されると良いかもしれません。
プリンターの初期化、ファームウェアの更新やプリンタードライバーを入れ直して改善したというケースもありますのでご参考までに。
インクカートリッジを振ってみて改善したという都市伝説もあったり…？
改善の見込みがなければ修理となりますが、補修用性能部品の保有期間を既に過ぎている製品であれば、
修理をすることができませんので、残念ですが買い替えとなります。