単体で使用、ソフトのバージョンアップをするには？

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcl3770cdw
このあたりのプリンタでしょうか？

【MFC-L3770CDW/HL-L3230CDW】廃トナーボックスの交換方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10701
に書かれた手順通り電源を入れた状態で交換を試みましょう。

>ソフトのバージョンアップをするには？
ファームウェアの更新とかでしょうか？

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ファームウェア（本体ソフトウェア）のバージョンアップについて
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9869/
PCなどから行うのが一般的ですね。

設定一覧
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/mfcl3770cdwb_jpn/doc/html/GUID-699FDE4A-FB58-4690-8334-78E06B9666C7_423.html?c=jp&lang=ja&prod=mfcl3770cdw&broug=in
本製品の情報を確認する
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/mfcl3770cdwb_jpn/doc/html/GUID-769B44F9-5E46-405D-83B0-8C9BA1350206_375.html?c=jp&lang=ja&prod=mfcl3770cdw&broug=in
ちゃんとネットワークに接続が出来ていればプリンタ本体の操作パネルからファームウェアの更新が出来るかも知れません。

以下のページなどは参考にされましたでしょうか？

・電源を入れたまま交換
・プリンター本体のファームウェアが最新の状態
・内部にトナー汚れ・付着が無い状態
この状態で交換したにもかかわらず、解決しない場合は以下の要領で改善する可能性があります。右にそっと寄せてセットするのがコツらしいです。
右側のスプリング機構の【接点】の状態を確かめながらセットしてみてください。
（自己責任ですが、電源OFFの状態で接点を無水アルコールで拭いたりしても○）
それでも解決しなければトナーの初期不良もしくはプリンター本体の修理が必要となりますね。

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1.本体にセットいただいた廃トナーボックスを一度抜いていただきます。
2.再度セットし、セットしたまま廃トナーボックスをしっかり右側に寄せてセットします。
3.トナーやドラムをセットいただき、フロントカバーを閉めます。

※本体と廃トナーボックスの接触部が向かって右側にございます。
　廃トナーボックスをしっかり右側に接触した状態にしていただき、
　エラーが消えるかをお試しいただけますでしょうか。
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【レーザー プリンター】新品のドラムユニットに交換したのに、「ドラム交換」「まもなくドラム交換です」または［Drum］LED（ランプ）が消えません
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9293/

【レーザー プリンター】「ドラム交換」と表示されました。ドラムユニットを交換する方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/12059

【レーザー プリンター】トナー交換のメッセージが表示されました
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9250/

【レーザー プリンター】トナーカートリッジの交換方法（複合機）
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9857

【レーザー プリンター】トナーカートリッジの交換方法(プリンター)
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9854